Ірраціональні рівняння та нерівності в шкільному курсі математики

Матеріал з Wiki
Перейти до: навігація, пошук

Зміст

Назва статті

Ірраціональні рівняння та нерівності в шкільному курсі математики

Автор (посилання на сторінку користувача)

Чмиркова Тетяна Володимирівна

Анотація статті

У статті наведено означення ірраціонального рівняння, нерівності, основні методи розв’язання, типові помилки учнів при вивченні даної теми, доведено ефективність проблемного навчання і блоково-модульної технології при вивченні ірраціональних рівнянь і нерівностей в середній школі.--Чмиркова Тетяна Володимирівна (обговорення) 00:47, 6 вересня 2014 (EEST)

Ключові слова

Ірраціональні рівняння,нерівності,методика, алгоритм,навчально-виховний процес.

Постановка проблеми

Під час вивчення даної теми підбирати ефективні методи і форми навчання з метою підвищення ефективності уроків математики.

Аналіз останніх досліджень і публікацій

Навчання учнів розв’язуванню рівнянь та нерівностей, що є складовою загального процесу навчання алгебри? та алгебри і початків аналізу, знайшло широке відображення в дослідженнях педагогів, психологів та методистів. Для осмислення цілісності формування прийомів навчальної діяльності учнів з розв’язування рівнянь та нерівностей важливими є результати психологічних досліджень, пов’язаних з аналізом навчальної діяльності. Так, роботи в галузі загальної, вікової та педагогічної психології (Д.М.Богоявленський, Дж.Брунер, Л.С.Виготський, П.Я.Гальперін, Є.Н.Кабанова-Меллер, Г.С.Костюк, В.О.Крутецький, О.М.Леонтьєв, Н.О.Менчинська, С.Л.Рубінштейн, Н.Ф.Тализіна та ін.) сприяють розумінню механізмів прийняття рішень у навчальній діяльності учнів, залежності між інформаційними і психічними явищами; розкриттю змісту вмінь, взаємозв’язку знань і умінь, психологічних аспектів формування розумових прийомів. Аналіз дидактичних особливостей формування знань і вмінь учнів, пов’язаних із розв’язуванням рівнянь і нерівностей, спирається на дослідження навчальної діяльності, дидактичних закономірностей організації особистісно-орієнтованого навчання (праці Ю.К.Бабанського, М.А.,Данилова, Л.В. Занкова, І.Я.Лернера,В.І.Лозової, В.О. Оніщука, В.В. Сєрікова, М. Н. Скаткіна, А. В. Хуторського та ін.).Реалізація компетентнісного підходу до навчання математики спирається на наукові розвідки, присвячені загальним методичним аспектам упровадження цього підходу в освіті як засобу організації особистісно орієнтованого навчання (праці Н.М.Бібік, Г.В.Єльнікової, І.Г.Єрмакова, О.В.Овчарук,О.І.Пометун, Дж.Равена, С.Є.Шишова та ін.), та на праці, присвячені питанням реалізації компетентнісного підходу в математичній освіті (С.А.Раков, І.М.Аллагулова, Л.І.Зайцева, Н.Г.Ходирєва та О.В. Шавальова). Удосконалення навчання учнів розв’язуванню рівнянь та нерівностей важливе значення мають дослідження з організації процесу навчання (М.І.Бурда, Я.І.Грудьонов, М.І.Жалдак, М.Я.Ігнатенко, М.В.Мєтєльський, М.В.Потоцький, З.І.Слєпкань та ін.). Цей цикл досліджень стосується широкого кола питань, пов’язаних із покращенням математичної підготовки учнів і активізацією їхньої пізнавальної діяльності у процесі навчання математики: розробка змісту та стандартів математичної освіти, підготовка навчальних посібників і методичного забезпечення, спрямованого на підвищення ефективності навчання математики в сучасних умовах. Особливу роль у дослідженні зазначених питань мали роботи, присвячені власне навчанню учнів розв’язуванню рівнянь і нерівностей та формуванню відповідних розумових прийомів (С.В.Арюткіна, Г.П.Бевз, І.Т.Бородуля, Я.І.Грудьонов, З.І.Ісаєва,Я.Л.Каплан, М.Махкамов, Є.П.Нелін, А.А.Папишев, Д.Д.Рибдилова, І.А.Сильвестрова, З.І.Слєпкань, Н.В.Толпекіна та ін.). Велику роль мають праці, присвячені методичним аспектам використання текстових, прикладних задач та математичному моделюванню, адже рівняння та нерівності є найбільш розповсюдженими математичними моделями, до яких зводиться розв’язування і текстових, і прикладних задач. Зокрема, це праці М.І.Башмакова, С.Л.Валітової, А.Г.Мордковича .М.Морозова, С.Ю.Полякової, І.Н.Семенової, Л.О.Соколенко, О.В.Сухорукової, М.О.Терешина, М.Л.Тіхонова та ін [2]. Попри детальність дослідження методики вивчення рівнянь та нерівностей питання формування математичних компетентностей у процесі вивчення рівнянь і нерівностей у курсі алгебри і початків аналізу недостатньо досліджено в методиці навчання математики. У сучасних умовах існує низка протиріч між: -наявністю ґрунтовних теоретичних наукових доробок з проблем компетентнісного підходу, проголошенням необхідності його впровадження в освіті та відсутністю шляхів реалізації компетентнісного підходу в шкільній практиці; -цілями й завданнями математичної освіти, спрямованими на формування системних знань, на інтелектуальний розвиток учнів, на активізацію їхньої пізнавальної діяльності, на формування ключових і математичних компетентностей та недостатнім методичним забезпеченням, необхідним для розв’язування цих завдань. Це зумовлює необхідність розв’язання проблеми вдосконалення наявної методики вивчення рівнянь і нерівностей у курсі алгебри та початків аналізу з метою формування в учнів відповідних математичних компетентностей[13;15].

Мета статті

обґрунтувати й розробити методичну систему навчання учнів 8 класу, спрямованого на набуття учнями математичних компетентностей під час розв’язування рівнянь і нерівностей.

Виклад основного матеріалу

Ірраціональні рівняння, як правило, викликають труднощі, тому вимагають знання теоретичного матеріалу, уміння проводити дослідження різних ситуацій. Більшість помилок пов'язана з формальним і поверхневим засвоєнням учнями основних понять і методів розв’язання ірраціональних рівнянь. У багатьох учнів єдиним стійким знанням є застосування методу зведення обох частин рівняння до одного і того ж ступеня, учні іноді забувають робити перевірку знайденого кореня. Для деяких цей метод є єдиним. Тому, головна проблема, з якою зустрічається вчитель при підготовці уроків з данщї теми, полягає в тому, що стан питання на момент вивчення матеріалу випереджає інформацію про це в навчальній літературі. Вчитель вимушений використовувати відомості із зовнішніх джерел, відшкодувати відсутність єдиного узагальнення з даної теми в курсі алгебри 11-го класу. В деяких випадках труднощі можуть виникнути із-за недостатніх знань з раніше вивчених тем (арифметичний квадратний корінь, його властивості. Перерахуємо типові помилки, що допускаються учнями при розв’язанні ірраціональних рівнянь: -неправильно вказана або не вказана область допустимих значень (не враховано, що вираз під знаком кореня парного степеня має бути невід’ємним; -область допустимих значень не врахована при отриманні відповіді; -не враховано, що квадратний арифметичний корінь – невід’ємна величина; -при піднесенні рівняння до квадрату не враховані знаки обох його частин; -нееквівалентна заміна змінною; -ділення на вираз, що містить невідому величину. Труднощами при вивченні ірраціональних рівнянь і нерівностей є брак часу, що відводиться програмою. Існує декілька хороших посібників по розв’язанню ірраціональних рівнянь і нерівностей, що містять велику кількість різнорівневого тренувального матеріалу з докладними розв’язаннями, у тому числі і для самостійної роботи, призначених для поглибленого вивчення шкільного курсу математики. Ці посібники можуть бути використані вчителями математики для підготовки до уроків і організації додаткових занять з школярами. З простими ірраціональними рівняннями учні знайомляться в 8 класі після вивчення теми “Квадратне коріння. Арифметичний квадратний корінь”.Потім під час вивчення всього шкільного курсу алгебри 9–11кл. ми продовжуємо розв’язувати з учнями ці рівняння, поступово додаючи нові типи після вивчення відповідного матеріалу в підручнику . Отже, перше знайомство учнів з ірраціональними рівняннями відбувається при вивченні теми «Квадратні рівняння» в 8 класі, на розв’язання ірраціональних рівнянь відводиться 3 години. Ефективності викладання можна добитися, використовуючи елементи блоково-модульної технології. Інформаційний цикл Практичний цикл (Самозагрузка) Практичний цикл(відпрацювання навичок і перевірка знань) На першому уроці (інформаційний цикл)розглядається весь теоретичний матеріал, розв’язуються вправи. На другому уроці (практичний цикл, самозагрузка), ставиться мета, виділяються опорні завдання, планується діяльність вчителя і учня. Учень працює з текстом, відповідаючи на контрольні питання. На даному уроці йде відпрацювання навиків і умінь. При повторенні теоретичного матеріалу, знову звертається увага на той факт, що рівність є вірною, якщо виконується дві умови: і на той факт, що при будь-якому значенні а, при якому вираз має сенс, вірна рівність: Бажано на стенді «Сьогодні на уроці»залишити такий запис: На третьому уроці (практичний цикл, відпрацювання навиків і перевірка знань) необхідне проведення самостійної роботи навчального характеру і перевірної роботи. Продемонструємо методику вивчення ірраціональних рівнянь на різних етапах уроків по фрагментах , тобто не на прикладі одного уроку, а при розгляді епізодів декількох уроків. Введення нового поняття. При першому ознайомленні з новим навчальним матеріалом (із застосуванням проблемного навчання) слід: а) створити проблемну ситуацію; б) залучити учнів до проблемної ситуації і сформулювати навчальну мету; в) вирішити проблему; г) проаналізувати, узагальнити і оцінити роботу по вирішенню проблеми і здійсненню навчальної мети Кожен учень повинен мати право і фактично брати участь в постановці окремих завдань навчальної роботи, в плануванні цієї роботи або брати участь в її обговоренні, якщо цілі і плани задаються ззовні. Розглянемо методику введення поняття ірраціональне рівняння і його визначення на уроці. Формування поняття містить два етапи: чуттєвий (що полягає в утворенні відчуттів, сприйнять і уявлень) і логічний (перехід від уявлення до поняття за допомогою узагальнення і абстрагування)[13]. Тип уроку (на якому вводиться поняття) і застосування педагогічної технології: вивчення і первинне закріплення нових знань, модульна технологія. Інтегруючі цілі модуля: • Засвоїти визначення ірраціонального рівняння. •Уміти розв’язувати прості ірраціональні рівняння ( зведенням обох частин рівняння в квадрат, заміною рівносильним рівнянням). •Розвивати навчальні уміння і навики в самостійній роботі з підручником , уміння класифікувати, узагальнювати і робити висновки. • Сприяти розвитку логічного, критичного мислення. Схема введення поняття: Блок актуалізації. Блок "вхід". Історичний блок. Блок класифікації і узагальнення. Проблемний блок. Теоретичний блок. 1. Блок актуалізації - опорні знання і способи дії, необхідні для засвоєння нового матеріалу, представленого в проблемному модулі. Актуалізація опорних знань і способів дій є своєрідним "пропуском" в проблемний модуль. До дошки викликаються троє учнів (перевірка домашнього завдання ), а клас працює усно (теоретичні питання по темі «Арифметичний квадратний корінь»). Чуттєва степінь в процесі формування поняття відповідає «живому спогляданню», і тому вимагає засобів наочності. Завдання на увагу (розвиток зорової пам'яті): Зелений Червоний Синій Учитель декілька секунд показує картку із завданням класу, а потім прибирає її і ставить запитання: 1. Перерахуєте всі числа, які ви бачили. 2. У якій геометричній фігурі знаходиться? 3. Якого кольору це коло? 4. Квадратний корінь з якого числа знаходиться в квадраті? 5. Яким кольором записаний  ? 6. У якій геометричній фігурі він розташований? 7. Як називаються розглянуті числа? (У підручнику ірраціональні числа вивчаються після ірраціональних рівнянь, але я даю поняття ірраціонального числа раніше, ніж рекомендується). Знайдіть значення виразів: Проаналізуйте ситуацію, зробіть висновок. 2. Блок "вхід" - контрольний (як правило, використовуються тестові завдання). Історичний блок - Постановка історико-наукових проблем. Навчальний елемент з вказівкою завдань Рекомендації по засвоєнню навчального матеріалу Вхідний контроль умінь і навиків учнів , щоб визначити рівень підготовки до подальшої роботи. Цілі: повторити і закріпити властивості і правила, використані при спрощенні виразів, що містять арифметичний квадратний корінь, підготуватися до вивчення нового матеріалу. Виконайте тест. Перевірте правильність розв’язання за зразком і виставите собі бали (за кожен правильно розв’язаний приклад 1 бал).Оцініть свою роботу на уроці в листку самоконтролюю. Алгоритм "№Розв’язання рівнянь". Висновки Додаткові вправи Підсумкова оцінка 3. Блок класифікації і узагальнення - Структурно може бути оформлений у вигляді блок-схеми, опорних конспектів, алгоритмів, символічного запису і т.п. Логічний ступінь формування поняття. На дошці після перевірки домашнього завдання розв’язуються рівняння: з якими видами рівнянь ви знайомі? По відповідях учнів і за допомогою учнів малюється схема (родовід поняття: Підібрати свої приклади, дати визначення. Після класифікації рівнянь, провести узагальнення. 4. Проблемний блок - постановка проблеми. Можливе об'єднання проблемного і історичного блоків. Яку проблему може нести знак запитання в схемі? Проблема: чи існують рівняння інших видів? Запропонувати учням скласти рівняння іншого вигляду (при затрудненні – рівняння, що має відношення до даної теми). Попросити дати визначення ірраціонального рівняння через найближчий рід (рівняння) і видові відмінності (наявність радикала). Означення. Рівняння, в яких під знаком кореня міститься змінна, називають ірраціональними. Із запропонованих рівнянь назвіть номери тих, що є ірраціональними: Визначення поняття ірраціонального рівняння дане, можна приступати до отримання і алгоритмізації методів розв’язання ірраціональних рівнянь. 4. Теоретичний (основний) блок містить основний навчальний матеріал, розташований в певному порядку: дидактична мета; формулювання проблеми (завдання); обгрунтування гіпотези; вирішення проблеми; контрольні тестові завдання. Завдання: навчити розв’язувати нескладні ірраціональні рівняння; дати перші уявлення про поняття рівносильності рівнянь, про рівносильні і нерівносильні перетворення рівняння, про сторонні корені і перевірку коренів при розв’язанні рівнянь. До розв’язання ірраціональних рівнянь повертаємося при вивченні наступної теми «Дійсні числа». Завдання: довести формулу і навчити школярів використовувати її при перетворенні ірраціональних виразів, розв’язанні ірраціональних рівнянь. Приклади рівнянь: і тому подібне В курсі алгебри 9 класу ірраціональні рівняння можна розв’язувати при вивченні теми «Системи рівнянь» (метод підстановки, метод алгебраїчного додавання, метод введення нових змінних). У процесі вивчення ірраціональних рівнянь та нерівностей на уроках алгебри доцільним є використання комп'ютера та різних за змістом і призначен¬ням програмних засобів. Це значно підвищує зацікавленість учнів предметом,успішність та якість навчання[19].

Висновки

На сучасному етапі розбудови української держави потреби розвиткународного господарства висувають нові вимоги до підготовки кваліфікованих конкурентоспроможних робітників з високим рівнем загальноосвітньої підготов ки. Одним із шляхів розв’язання цієї проблеми є впровадження компетентнісного підходу до навчання, адже сформованість відповідних компетентностей визначає готовність учня, випускника до життя, його подальшого особистого розвитку й активної участі в житті суспільства. Математика посідає особливе місце в загально -людській системі знань, виконуючи роль мови науки, мови наукових досліджень, і важливу роль у цьому відіграють саме рівняння й нерівності. Тому набуття учнями математичних компетентностей є однією з важливих складових формування галузевих та ключових компетентностей випускника школи. З’ясовано стан розробки проблеми в науково-методичній літературі та у практиці навчання алгебри та початків аналізу; розроблені спеціальні засоби формування математичних компетентностей учнів, запропоновані рекомендації щодо підготовки учнів до розв’язування рівнянь та нерівностей державної підсумкової атестації з математики). Для набуття учнями процедурної компетентності доцільним є з’ясування та врахування взаємозв’язків між алгебраїчними поняттями і способами дій, а також виділення орієнтовних основ діяльності, необхідних для розв’язування рівнянь та нерівностей. Доцільним є виділення для учнів як загальних орієнтовних основ дій, пов’язаних із розв’язуванням рівнянь та нерівностей, так і орієнтовних основ дій, пов’язаних із розв’язуванням рівнянь та нерівностей з кожної теми; для набуття учнями логічної та дослідницької компетентностей при вивченні рівнянь та нерівностей доцільно організовувати діяльність учнів зіскладання планів розв’язування рівнянь та нерівностей; реалізації складеного плану; аналізу одержаних результатів.набуттю учнями логічної та дослідницької компетентностей сприяє:oрозв’язування усних вправ, спрямованих на розвиток логічного мислення та математичного мовлення учнів; розв’язування прикладних задач, математичними моделями яких є тригонометричні, логарифмічні, ірраціональні та показникові рівняння;oорганізація пошуково-дослідницької роботи (навчальних досліджень) рівняння і нерівностей та функціональних рівнянь доцільно систематично використовувати ІКТ на уроках та впровадити в навчальний процес спецкурс “Використання ІКТ у процесі вивчення рівнянь та нерівностей”; формування орієнтовних основ діяльності з розв’язування рівнянь та нерівностей основними методами; використання усних завдань, спрямованих на розвиток логічного мислення учнів; організацію навчальних досліджень (аналітичних та графічних), використання прикладних задач, формування вмінь аналізувати придатність отриманих знань та використовувати їх у навчальних та життєвих ситуаціях; навчальні дослідження учнів, які сприяють -класників, активізації їхньої навчальної діяльності, формуванню в них здатностей планувати свою навчальну діяльність, розвитку логічного мислення та дослідницьких здібностей. При підготовці учнів до розв’язування рівнянь і нерівностей державної підсумкової атестації та зовнішнього незалежного оцінювання з математики доцільно використання систематизуючого методу навчання (зокрема, проведення систематизуючих бесід з використанням графічних схем). При цьому основним системоутворюючим фактором є методи розв’язування рівнянь та нерівностей. Використання розроблених методичних рекомендацій сприяє формуванню в учнів умінь аналізувати об’єкти, ситуації та взаємозв’язки, застосовувати знання у новій ситуації, використовувати та оцінювати власні стратегії розв’язування пізнавальних проблем, складати та реалізовувати план своєї діяльності, висловлювати свою думку, підвищенню їх інформаційної грамотності, і,як наслідок, набуттю учнями не лише математичних,а й певних галузевих та ключових компетентностей.

Список використаної літератури

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.Бевз Г.П. Методика викладання математики: Арифметика, алгебра, початки аналізу і геометрії.– К.: Вища школа, 1972. 2.Бевз Г.П. Методика викладання математики.– К.: Вища школа, 1989 . 3.Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення.– К.: Рад. школа, 1963. 4.Возна М. Спроби формування цілісної картини навколишнього світу в процесі навчання математики// Математика в школах України.-2005.-№30. 5.Григор'єв А.М. Ірраціональні рівняння. / / Квант.- 1972 .-№ 1.- с.46-49. 6.Державний стандарт базової і повної середньої освіти //Математика в школі.-2004.-№2. 7.Єгоров Г. Ірраціональні рівняння. / / Математика. Перше вересня. - 2002. - № 5. - С.9-13. 8.Єгоров Г. Ірраціональні нерівності. / / Математика. Перше вересня. 2002. -№ 15. - С.13-14. 9.Збірник тестових завдань з математики для абітурієнтів / В.І.Беспальчук, А.В.Прус, І.А.Сверчевська та ін.; Під. ред. В.В.Михайленка. – Житомир: ЖДТУ, 2005. 10.Інтерактивні технології на уроках математики: Навч. - метод. Посібник / Упоряд. І.С. Маркова – Х.: Вид. група «Основа», 2007 . 11.Капіносов А.М. Алгебра 9 клас: заключне повторення. Тестова перевірка знань, умінь і навичок.– Дніпропетровськ: Дніпро, 1993. 12.Капіносов А.М. Основи технології навчання. Проектуємо урок математики – Х.: Вид. група «Основа», 2006 . 13.Кларин М.В. Интерактивное обучение – инструмент освоения нового опыта // Педагогика. – 2000. – № 7. – с. 12–18. 14.Кованцов М.І. Математична хрестоматія: Алгебра і початки аналізу.– К.: Рад. Школа,1977. 15.Кушель О.В. Розвиток поняття про число. Ознаки подільності. Досконалі числа.– К.: Вища школа,1974 . 16.Макаричев Ю.М., Мигдюк Н.Г. та ін. Підручник: Алгебра 8 клас.– К.: Рад. Школа,1990 . 17.Мордкович А.Г. Алгебра 8 клас: учебник.– М.: 1998 . 18.Мордкович А.Г. Методические рекомендации для учителя.– М.: 1998. 19.Панішко Ф. В. Три половини. Математична наука // Математика. — 2003. - № 7 (211). 20.Пометун О.І, Пироженко Л.В. Інтерактивні технології навчання: теорія, практика, досвід. – К.,2002. 21.Пометун О.І., Пироженко Л.В. Сучасний урок. Інтерактивні технології навчання: Наук.-метод. пос. – К.: Вид-во А.С.К.,2003. 22.Потапов М. Як розв'язувати рівняння без ОДЗ. / / Математика. Перше вересня,- 2003.-№ 21 . - С.42-43. 23.Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Книга для учителя.– М.: Просвещение, 1987 . 24.Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К.,: «Зодіак-ЕКО», 2000. 25.Урок математики в сучасних технологіях: теорія і практика: Метод проектів. Комп’ютерні технології. Розвивальне навчання / Упоряд. І. С. Маркова – Х.: Вид. група «Тріада». 2007. 26.Урок математики в сучасних технологіях: теорія і практика: Розвиток критичного мислення: Навч. – метод. посібник / Упоряд. І.С. Маркова – Х.: Вид. група «Основа». 2007 . 27.Фільчаков П.Ф. Довідник з елементарної математики для вступників до ВУЗів.– К.: Наукова думка, 1973. 28.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач.– М.:Просвещение, 1989. 29.Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Навч. Посібник для учнів проф.-техн. Навчальних закладів.-К.: Техніка, 2000. 30.Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Проб. Підруч. Для 10-11 кл.серед.шк. - К.: Зодіак-ЕКО, 1995. 31.Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу:Підруч.для 10кл. загальноосвіт. навч. закладів.- К.: Зодіак-ЕКО, 2002. . --Чмиркова Тетяна Володимирівна (обговорення) 01:54, 2 вересня 2014 (EEST)