Вивчення ірраціональних рівнянь та нерівностей в середній школі

Матеріал з Wiki
Перейти до: навігація, пошук

Зміст

Назва статті

Вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей в середній школі

Автор (посилання на сторінку користувача)

Грамм Елеонора Степанівна

Анотація статті

Ключові слова

Проблемне навчання, блочно-модульнеі технології,ірраціоналне рівняння, іррауціональні нерівності,диференційовані завдання,методи формування критичного мислення, критичне мислення.

Постановка проблеми

Аналіз останніх досліджень і публікацій

Мета статті

Виклад основного матеріалу

ВСТУП

В Україні, на сучасному етапі, йде становлення нової системи освіти, орієнтованої на входження в світовий освітній простір. Відбуваються істотні зміни в педагогічній теорії і практиці учбово-виховного процесу. Зміст освіти збагачується новими процесуальними уміннями, розвитком здібностей оперувати інформацією, творчо вирішувати педагогічні проблеми.

Зміни, що відбуваються в нашому суспільстві, пред'являють зовсім інші вимоги не тільки до вчителів, але і до підростаючого покоління, яке в недалекому майбутньому стане активним компонентом держави і ведучої силою в його подальшому розвитку. Відома формула «Яке суспільство – така і школа» думаю, не потребує яких-небудь докладних коментарів, оскільки всі освітні структури будь-якої держави завжди виконували його соціальне замовлення і забезпечували підготовку фахівців необхідного рівня, якості і в необхідній сфері діяльності. Проте у цієї формули є діалектичне продовження: «Яка школа – таке і суспільство». Його можна розуміти таким чином. Школа є могутнім чинником соціалізації індивідуальності людини. Саме у ній впродовж 9 – 11 років навчання формуються значущі цінні орієнтації для подальшого життя, отримується особистий досвід життєдіяльності, апробовуються і удосконалюються види і способи поведінки для досягнення поставлених цілей. Образно кажучи, школа вчить жити. Яку ж особу ми хотіли б бачити після отримання нею атестата зрілості? Звичайно ж, творчу, уміючу бачити і вирішувати життєво і професійно важливі проблеми. Реформування системи освіти насамперед націлене саме на розвиток такої особи, що наголошується у вимогах до системи української освіти, формульованих в Концепції математичної освіти школи. Ці ідеї відбиті і у Національній доктрині розвитку освіти в Україні у ХХІ столітті. Основне завдання освітньої політики - це використання соціально – економічних, педагогічних, матеріально – технічних умов для формування і розвитку особи конкурентоздатної, культурної, соціально – етичної зрілої людини. Аналіз ситуації показує, що система освіти, що склалася протягом десятиліть, поки не в змозі повністю задовольнити запити суспільства і зростаючі потреби людей. Виникає необхідність позначити основну вимогу сучасного педагогічного процесу: підвищення якості навчання і вивчення учбових предметів (у тому числі і математики в середній школі).

Вважаю, що роль вчителя в сучасному педагогічному процесі як і раніше залишається значущою. У своїй професійній діяльності веду пошук відповідей не тільки на питання "чому учити?", "навіщо учити?", "як учити?", але і на питання "як учити результативно?". Аналізуючи роботи вітчизняних і зарубіжних авторів ( К.Ф. Гейдебрандта, В.І. Боголюбова, В.П. Безпалько і ін.) можна зробити висновок про те, що педагогіка в своєму традиційному вигляді поволі трансформується і все більше уваги приділяє сучасним технологіям навчання. Серед окремих педагогічних технологій найбільшою популярністю користуються технології вдосконалення загальнонавчальних умінь, які дозволяють швидко нарощувати швидкість читання, написання і обчислень до оптимальних значень без збитку для якості цих умінь. Однією з таких технологій є технологія, розроблена В.Н. Зайцевим, елементи якої успішно використовуються вчителями ось вже декілька років. Для реалізації будь-якого підходу необхідно зупинитися на підготовці мети педагогічної діяльності. Втрата мети в педагогічному процесі - одна з найпоширеніших причин його неефективності, працювати без мети все одно, що діяти без думки. У вирішенні цієї проблеми нам допомогла технологія В.П. Безпалько, згідно якої діагностичне завдання мети навчання полягає у виборі рівня засвоєння, який співвідноситься з моделлю учня. Названі нами вище технології, проте, мають свої мінуси. А саме, у меншій мірі ефективно розвивається пізнавальна активність учнів. І тут на допомогу прийшли особистісно орієнтовані розвивальні педагогічні технології. До цих технологій відносяться, наприклад, такі як:

 технології колективної співпраці (А.Г.Рівін, В.К.Дяченко);

 система розвивального навчання Л.В.Занкова;

 технологія формування евристичної діяльності (В.Н.Введенський);

 проблемного навчання (М. Фрідман ), блочно – модульного навчання (М.А.Чошанов ) та інші.

Можна зробити висновок, що необхідно здійснювати комплексний підхід до застосування педагогічних технологій, що дозволяють розв’язати суперечності між досвідом, накопиченим педагогічною наукою і недостатнім проникненням цього досвіду в практику освіти. Моделюючи комплекс педтехнологій за принципом сумісності і взаємодоповнюваності, кожен викладач може підвищити якість навчання. Як показав досвід, при вивченні ірраціональних рівнянь і нерівностей найбільш ефективними є проблемне навчання і засоби блочно-модульної технології.

Таким чином, результатом творчої діяльності стало написання роботи по темі «Вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей в середній школі». У цій роботі проведено короткий аналіз сучасного стану даної теми в шкільних підручниках, розроблено методику вивчення даної теми на уроках на основі проблемного навчання і блочно-модульної технології. Необхідність розробки даної методики була продиктована певними об'єктивними причинами. Вивченню цієї теми в програмі середньої школи відводиться мінімум годин, що не відповідає об’єму необхідного для засвоєння матеріалу, ірраціональні нерівності ж вивчаються лише в ознайомлювальному порядку. Проте кожен варіант завдань Державної підсумкової атестації містить завдання по даній темі, що складає 5,2% всієї роботи. Також вступні письмові роботи ЗНО у вищі навчальні заклади містять завдання , що вимагають уміння розв’язувати ірраціональні рівняння і нерівності.


Глава1. Теоретичні основи і методичні особливості вивчення теми «Ірраціональні рівняння і нерівності» в середній школі навчання

1.1. Основні принципи і методологія викладання

Останнім часом велика увага приділяється проблемному навчанню, яке дозволяє швидко і ефективно оволодіти учбовим матеріалом, а також сприяє творчому розвитку особи учня. Проблемне навчання, як відомо, що виникло на початку XX століття (Дж. Брунер, К.Дункер, Дж.Дьюи, Г.Пойа і ін.), отримало достатньо повне відображення у в роботах зарубіжних (В.Оконь) і вітчизняних дослідників (С.І.Архангельський, М.Г.Гарунов , О.M.Матюшкін, Р.О.Нізамов і ін.) шляхом розробки його теоретичних основ. У своїх дослідженнях учені визначили проблемну ситуацію як початок процесу мислення і розглянули етапи цього процесу, досліджували роль проблемної ситуації в мисленні і навчанні (О.M. Матюшкін), розробили типи проблемних ситуацій (С.І.Архангельський, О.M.Матюшкін), класифікацію проблемних задач (В.Оконь), систему проблемних ситуацій, проблем і проблемних завдань (М.Г.Гарунов ), виявили рівні проблемності унавчанні ( М.Г.Гарунов, Р.О.Нізамов ) і багато інших аспектів цієї проблеми. Про проблемне навчання відомо давно. Витоки такого навчання можна знайти у далекому минулому. Так, можна послатися на вислів Квінтіліана (біля 35- 95 рр.) в його філософсько-педагогічній праці "Повчання в ораторському мистецтві": " Дитина повинна боротися за те, щоб досягти успіху у навчанні, але слід робити так, щоб він дуже хотів його досягти". За бажанням можна послатися і на Сократа, що навчав ще раніше Квінтіліана (469-399 рр. до н.е.), який використовував у навчанні метод навідних питань, за допомогою яких вів учня від одного "відкриття істини" до іншого. Ідею активного навчання через постановку проблеми розвивали такі педагоги і філософи, як Я.А.Коменський, Ж.Ж.Руссо, І.Г.Песталоцці. Досвід організації проблемного навчання накопичувався в світовій педагогіці впродовж багатьох десятиліть. На початку 60-х рр. група учених під керівництвом відомого американського психолога А.Осборна провела аналіз великої кількості дослідницького матеріалу і сформулювала узагальнені риси підходу до навчання на основі розв’язання проблем.

Початкові ідеї проблемного навчання:

1. Розвиток авторської позиції дитини в освітньому процесі.

2. Безцінний характер реакції на висловлення учнів в ході проблемного навчання.

3. Цілісна включеність дитини в освітній процес, пов'язана і з раціональним пізнанням, і з інтуїтивною, часто не усвідомлюваною емоційно-особовою сферою.


Під проблемним навчанням (problem-based learning) розуміється навчання, що передбачає створення на уроці проблемних ситуацій і обговорення можливих підходів до їх розв’язання, в ході якого учні вчаться застосовувати раніше засвоєні знання і придбані навики і уміння і оволодівають досвідом (способами) творчої діяльності. Як найповніше визначення поняття проблемне навчання дає О.M.Матюшкін. Проблемна ситуація – сукупність умов (мовних і немовних), що стимулюють учнів на здійснення дії заданої змістом ситуації.

У проблемній ситуації ми розрізняємо три різних компоненти:

а) потреба учня в нових знаннях або способах дії (хочу дізнатися…, навчитися ….);

б) невідомі знання, які учень повинен засвоїти за проектом педагогічних цілей;

в) відомі знання і сформовані уміння (можу сам, без педагога), засвоєні в ході попереднього навчання.

Проблемну ситуацію можна створити на основі матеріалу:

а) з історії науки і промисловості;

б) описів ситуацій професійної діяльності;

в) альтернативних методів розв’язання професійних завдань.

Проблемні ситуації можуть бути різними за змістом невідомого, по рівню проблемноcті, по вигляду розузгодження інформації, по інших методичних особливостях .

Умовами успішності навчання є:

• проблематизація навчального матеріалу (знання виникають в результаті здивування і цікавості);

• активність дитини (знання повинні засвоюватися легко);

• зв'язок навчання з життям дитини , грою, працею.

Модель організації учбового процесу можна представити як “ НАВЧАННЯ через ВІДКРИТТЯ ”

Модель організації навчального процесу будується на реалізації принципу проблемності в навчанні.

Принцип проблемності реалізується:

• як у змісті навчального предмету;

• так і в процесі розгортання цього змісту в навчальному процесі.

Методи навчання – проблемні:

а) проблемного викладу;

б) частково-пошуковий;

в) дослідницький;

Форми організації навчального простору колективні:

а) парна взаємодія;

б) мікро-групова взаємодія;

в) групова взаємодія;

г) між-групова взаємодія.

Методичні прийоми, які я використовую для створення проблемних ситуацій:

• підводжу учнів до суперечності і пропоную їм самим знайти спосіб його розв’язання;

• пропоную різні точки зору на одне і те ж питання;

• пропоную розглянути завдання або задачу з різних позицій;

• роблю порівняння, узагальнення, висновки із ситуації, співставляю факти;

• ставлю конкретні питання (на узагальнення, обгрунтування, конкретизацію, логіку міркування);

• визначаю проблемні теоретичні і практичні завдання (наприклад, дослідницькі);

• ставлю проблемні завдання (наприклад, із недостатніми або зайвими вихідними даними, із невизначеністю в постановці питання,із суперечливими даними, зі свідомо допущеними помилками, з обмеженим часом розвязання , на подолання “психологічної інерції”).


                                    Етапи розв’язання проблеми
                                            
        Учні обговорюють,                                                      Учні  пробують  зрозуміти, 
        що вони вже знають.                                                    що вони  ще не знають і 
                                                                                                що їм потрібно  знати і 
                                                                                               чому навчитися, щоб	
                                                                                                розв’язати  проблему.  
                                                                                           

Результативність своєї роботи можна оцінити за допомогою критеріїв:

а) наявність у учня позитивного мотиву до діяльності в проблемній ситуації( Хочу розібратися, хочу спробувати свої сили, хочу переконатися чи зможу вирішити цю ситуацію… );

б) наявність в учнів позитивних змін в емоційно - вольовій сфері( Переживаю радість, задоволення від діяльності, мені це цікаво, можу із зусиллям волі концентрувати свою увагу… );

в) переживання учнями суб'єктивного відкриття ( Я сам отримав цей результат, я сам розв’язав дану проблему, … );

г) усвідомлення учнем засвоєння нового як особистої цінності (Особисто мені це потрібно, мені важливо навчитися вирішувати ці ситуації, мені будуть ці знання потрібні…);

д) оволодіння узагальненим способом підходу до розв’язання проблемних ситуацій:

 аналізом фактів,

 висуненням гіпотез для їх пояснення,

 перевіркою їх правильності і

 отриманням результату діяльності.

Творча діяльність учня, направлена на творче розуміння засвоюваного матеріалу і породження нових способів дії, її розвитку залежить від наявності трьох складових мислення:

- високий рівень сформованості елементарних розумових операцій:

аналізу і синтезу, порівняння, аналогії, класифікації;

- високий рівень активності, що виявляється у висуненні безлічі гіпотез, варіантів розв’язків, нестандартних ідей;

- високий рівень організованості і цілеспрямованості мислення, що виявляються у виділенні істотного в явищах, усвідомленні власних способів мислення.

Таким чином, завдання вчителя зводиться до формування вказаних компонентів мислення. Мета проблемного навчання: сприяти розвитку у учнів критичного мислення, досвіду і інструментарію навчально-дослідницької діяльності, рольового і імітаційного моделювання, можливості творчо освоювати новий досвід; пошуку і визначенню учнями власних особових і ціннісних стосунків. Проблемне навчання може бути використане на різних етапах навчального процесу. Найчастіше на уроках математики воно використовується при вивченні нового матеріалу. Проблемне навчання може бути використане на етапі формування умінь і навиків. В результаті перевірки на практиці зроблених висновків, учнями відкривається нова проблема, тобто формування умінь і навиків переходить у вивчення нового.

Обмеження:

1. Необхідно більше часу на вивчення навчального матеріалу порівняно з традиційним навчанням

.

2. Можливе недостатнє відпрацювання практичних умінь і навиків учнів .

Отже, необхідні додаткові форми і методи навчання, які сприяють відпрацюванню практичних умінь і навиків учнів без витрати додаткового часу. Вивчивши методичну і наукову літературу, нагромаджений досвід роботи вчителів, , прийшла до висновку, що в цьому випадку найбільш ефективним є використання елементів блочно-модульної технології. Приклади адаптації теоретичного і практичного досвіду блочно-модульного підходу до навчання в сучасних умовах знаходимо в роботах А. Алексюк, О.Попович, В. Бондар, Л. Глоби, М. Громкової, Л. Романішиної, М. Шиян. Проблему блочного і модульного підходу до навчання на основі науково-обгрунтованої побудови структури і змісту досліджували ряд учених: А. Фурман, О. Гуменюк. В. Мельник, Н. Терещенко; окремі положення концепції модульного підходу до проектування навчально-програмної документації розробили П. Третяков, І. Сенновський, Л. Федорик і ін. Теорія модульного навчання , принципи розробки модулів детально викладені в наукових працях кандидата педагогічних наук, доцента В.С.Збаровського .

Основною метою блочно – модульної технології є розвиток критичного мислення учнів, їх рефлексивних здібностей , активізація самостійної роботи учнів протягом усього періоду навчання.

Реалізація даної мети дозволить:

• підвищити мотивацію вивчення математики; підвищити якість знань;

• підвищити рівень освітнього процесу в цілому .

Початкові наукові ідеї.

Технологія блочно-модульного навчання заснована на трьох основних принципах.

-Принцип системного квантування орієнтує на "стиснення" учбової інформації (узагальнення, укрупнення, систематизація).

-Принцип модульності пропонує фіксування навчальної інформації і навчальних дій школярів у вигляді модулів.

-Принцип проблемності - цілеспрямоване створення навчальних ситуацій на пошук помилок.

Виділяються наступні групи помилок:

• гносеологічні (помилки пізнавального характеру, зроблені в процесі еволюції знань);

• методичні (помилки викладання, пов'язані з порушенням психологічних особливостей сприйняття, пам'яті, мислення в процесі навчання);

• навчальні помилки (згруповані в спеціальні таблиці по кожному модулю).

Блочна форма організації навчальних занять, як стверджує Н.В. Шкарбан, "розширює можливості використання різних методів навчання, підвищує інформаційну насиченість уроків, забезпечує різноманіття видів навчальної діяльності учнів". Модуль складається з 12 взаємозв'язаних блоків.

Блок "вхід" - контрольний. Актуалізація опорних знань і способів дій є своєрідним "пропуском" в проблемний модуль. Як правило, використовуються тестові завдання.

Історичний блок - короткий екскурс, що розкриває генезис (походження) поняття, теореми, завдання. Аналіз труднощів і помилок, що виникають при їх розв’язанні. Постановка історико-наукових проблем . Блок актуалізації - опорні знання і способи дії, необхідні для засвоєння нового матеріалу, представленого в проблемному модулі.

Експериментальний блок - опис навчального експерименту, лабораторної роботи для виведення формулювань, експериментальних формул.

Проблемний блок - постановка укрупненої проблеми, на розв’язання якої і направлений проблемний модуль. Можливе об'єднання проблемного і історичного блоків.

Блок узагальнення - первинне системне представлення змісту проблемного модуля. Структурно може бути оформлений у вигляді блок-схеми, опорних конспектів, алгоритмів, символічного запису і тому подібне.

Теоретичний (основний) блок містить основний навчальний матеріал, розміщений в певному порядку: дидактична мета; формулювання проблеми (завдання); обгрунтування гіпотези; вирішення проблеми; контрольні тестові завдання.

Блок генералізації - віддзеркалення вирішення укрупненої проблеми і кінцеве узагальнення змісту проблемного модуля.

Блок застосування - вирішення історико-наукової проблеми, система завдань і вправ.

Блок стикування - поєднання пройденого матеріалу із змістом суміжних навчальних дисциплін.

Блок поглиблення - навчальний матеріал підвищеної складності для учнів, що виявляють особливу цікавість до предмету.

Блок "вихід" - контроль результатів навчання по модулю. Учень, що не виконав ту або іншу вимогу блоку "вихід", повертається до того навчального елементу проблемного модуля, в якому були допущені помилки.

Для успішного застосування модульного навчання рекомендується використовувати декілька правил:

- перед кожним модулем проводити вхідний контроль знань і умінь учнів, щоб мати інформацію про рівень підготовки до роботи по новому модулю. При необхідності проводиться відповідна корекція знань; обов'язково здійснюється поточний і проміжний контроль в кінці кожного навчального елементу (частіше це м'який контроль: самоконтроль, взаємоконтроль, звіряння із зразком і так далі). Після завершення роботи з модулем здійснюється вихідний контроль. Поточний і проміжний контроль має своїй на меті виявлення прогалин у засвоєнні для їх усунення відразу, а вихідний контроль повинен показати рівень модуля і також обов'язково з доопрацюванням. Таким чином, кожен учень разом з вчителем здійснює управління навчанням;

- для успішної роботи учня з модулем важливою вимогою є подача навчального змісту. Воно має бути таким, щоб учень ефективно його засвоював. Бажано, щоб педагог як би розмовляв з учнем, активізував його на міркування, пошук, здогадку, підбадьорював, орієнтував, орієнтував на успіх.

Для вчителя важливо мати загальні критерії до формування змісту модуля:

 використовуючи модулі, можна здійснювати внутрішньо-предметні і міжпредметні зв'язки, інтегрувати навчальний зміст, формуючи його в логіці змісту навчального предмету;

 інший критерій пов'язаний з необхідністю здійснювати диференціацію навчального змісту. Нижньою межею буде рівень обов'язкової підготовки. Інший рівень - вище обов'язкового.

 важливим критерієм побудови модуля є структуризація діяльності учня в логіці етапів засвоєння знань:

 сприйняття,

 розуміння,

 осмислення,

 запам'ятовування,

 застосування,

 узагальнення,

 систематизація.

І тут є велика можливість здійснити проблемність у навчанні;

у модулі має бути можливість для повторення основного змісту. Ця можливість реалізується через навчальний елемент "резюме". Добре, якщо узагальнення зроблене не лише словесно, але і у формі таблиць порівняльних характеристик, графіків, діаграм і так далі.

Головним критерієм ефективності використання блочного і модульного підходів є результативність роботи. Блочно – модульна технологія навчання “забезпечує кожному учневі досягнення поставлених дидактичних завдань, представляє учням самостійний вибір індивідуального темпу просування за програмою і саморегуляцією своїх навчальних досягнень (максимальна індивідуалізація просування в навчанні)”.

Навчання ведеться за принципом поступового накопичення знань, перехід до наступного модуля здійснюється після повного засвоєння попереднього, причому що кожним учнем індивідуально. Уроки за блочно-модульною технологією викликають в учнів значно менше напругу ,тривогу, неспокій, страх, стомлюваність. Ступінь розуміння матеріалу, що вивчається, набагато вищий, ніж на традиційних уроках. Все це дозволяє зберігати урівноважений психічний стан .

Досвід роботи за даною технологією показав її переваги:

• можливість багаторівневої підготовки (що визначене структурою блоку);

• створення умов для розвитку комунікативних навичок і навичок спілкування учнів, тісного контакту із викладачем через індивідуальний підхід;

• створення умов усвідомленого мотиваційного вивчення навчальних дисциплін;

• зменшення стресових ситуацій в період здачі заліків або іспитів.

У модульне навчання дуже добре вписується вся система методів, прийомів і форм організації навчально-пізнавальної діяльності учнів. Отже, модулі можна використовувати в будь-якій системі навчання і тим самим підсилювати її якість і ефективність. Найбільш вдалим є застосування модулів в системі проблемного навчання при вивченні ірраціональних рівнянь і нерівностей.

1.2. Ірраціональні рівняння і нерівності в шкільному курсі математики і в математиці як науці

1.2.1. Коротка історична довідка

Однією із важливих причин появи математичних теорій з'явилося відкриття ірраціональності. Термін «раціональне» (число) походить від латино-американського слова ratio – відношення, яке є перекладом грецького слова “логос”. На відміну від раціональних чисел, числа, що виражають відношення несумірних величин, були названі ще в старовину ірраціональними, тобто нераціональними (по-грецьки “алогос”). Правда, спочатку терміни “раціональний” і “ірраціональний” відносилися не до чисел, а до сумірних і відповідно не сумірним величинам, які піфагорійці називали вираженими і невираженими, Теодор Киренський же симетричними і асиметричними. У V-VI століттях римські автори Капела і Касіодор перекладали ці терміни на латинь словами rationalis і irrationalis.

Старогрецькі математики класичної епохи користувалися тільки раціональними числами (вірніше цілими, дробами і додатними). У своїх «Початках» Евклід подає вчення про ірраціональності чисто геометрично. Ймовірно, найпершою ірраціональністю, відкритою старогрецькими математиками, було число π. Можна з упевненістю вважати, що початковим пунктом цього відкриття були спроби знайти загальну міру за допомогою алгоритму поперемінного віднімання, відомого зараз як алгоритм Евкліда. Можливо також, що деяку роль зіграло завдання математичної теорії музики: ділення октави, що приводить до пропорції 1:п=п:2. Не останню роль зіграв і характерний для піфагорійської школи загальний інтерес до теоретико-числових проблем.

Багато учених країн Середнього Сходу в своїх працях вживали ірраціональні числа як повноправні об'єкти алгебри. Більш того, коментуючи «Початки» Евкліда і досліджуючи загальну теорію відношення Евдокса, Омар Хайям вже на початку XII ст. теоретично розширює поняття числа до додатного дійсного числа. У тому ж напрямі багато було зроблено найбільшим математиком XIII ст. ат-Туси.

У сучасних навчальних посібниках основа визначення ірраціонального числа спирається на ідеї ал-Каши, Стевіна і Декарта про вимірювання відрізків і про необмежене наближення до шуканого числа за допомогою нескінченних десяткових дробів. Проте обгрунтування властивостей дійсних чисел і повна теорія їх була розроблена лише в XIXст.

“Джерелом алгебраїчних ірраціональностей є двозначність або багатозначність задачі; бо було б неможливо виразити одним і тим же обчисленням багато значень, що задовольняють одній і тій же задачі, інакше, ніж за допомогою коренів; вони ж хіба лише в окремих випадках можуть бути зведені до раціональностей ”. (Лейбніц Г.)

Значення відкриття ірраціональності в математиці важко переоцінити. У математику, мало не вперше, увійшла складна теоретична абстракція, що не має аналога в донауковому загальнолюдському досвіді. Услід за ірраціональністю числа були відкриті багато інших ірраціональностей. Так, Теодор з Кирени (Vст. до н.е.) встановив ірраціональність квадратного кореня з чисел 3,5,6.,17, які не є повним квадратом, Теетет (410-369 до н.е.) дав одну з перших класифікацій ірраціональностей. З появою ірраціональностей в старогрецькій математиці виникли серйозні труднощі як в теоретико-числовому, так і в геометричному плані.

Пропоную задачу: “Роки трьох братів відповідно 30, 20 і 6 років. Через скільки років вік старшого дорівнюватиме сумі віків обох молодших братів?” Метод розв’язання подібних задач був відомий ще в II тисячолітті до н.е. писарям Стародавнього Єгипту ( проте вони не застосовували буквеної символіки).

Ще складніші завдання вміли розв’язувати з початку II тисячоліття до н.е. в Стародавньому Вавілоні. У математичних текстах, виконаних клинописом на глиняних пластинах, є квадратні і біквадратні рівняння, системи рівнянь з двома невідомими і навіть прості кубічні рівняння. При цьому вавілоняни також не використали букв. На подальший розвиток алгебри сильний вплив зробили розглянуті Діофантом завдання, що приводять до складних систем рівнянь алгебри, зокрема до систем, де число рівнянь було менше числа невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише позитивні раціональні розв’язки.

З VI ст. центр математичних досліджень переміщається до Індії і Китаю, країн Близького Сходу і Середньої Азії. Китайські учені розробили метод послідовного виключення невідомих для розв’язування систем лінійних рівнянь, подали нові методи наближеного розв’язування рівнянь вищих степенів.

Індійські математики використовували від’ємні числа і удосконалили буквену символіку. Проте лише в працях учених Близького Сходу і Середньої Азії алгебра сформувалася в самостійну гілку математики, що трактує питання, пов'язані з розв’язуванням рівнянь.

У IX ст. узбецький математик і астроном Мухаммед ал-Хорезми написав трактат “Китаб аль-джебр валь-мукабала”, де дав загальні правила для розв’язування рівнянь першого степеня. Слово «алъ-джебр» (відновлення), від якого нова наука алгебра отримала свою назву, означало перенесення від’ємних членів рівняння з однієї його частини в іншу із зміною знаку. Учені Сходу вивчали і розв’язування кубічних рівнянь, хоча не зуміли отримати загальної формули для їх коренів. У Західній Европі вивчення алгебри почалося в XIII ст. Одним з визначних математиків цього часу був італієць Леонардо Пізанський (Фібоначчі) (бл.1170 – 1228). Його “Книга абака” (1202) – трактат, який містив відомості про арифметику і алгебру до квадратних рівнянь включно.

Першим визначним самостійним досягненням західноєвропейських учених було відкриття в XVI ст. формули для розв’язування кубічного рівняння. Це було заслугою італійських алгебраїстів С. Дель Ферро, Н.Тарталья і Дж. Кардано. Учень останнього – Л. Феррарі розв’язав і рівняння 4-го степеня. Вивчення деяких питань, пов'язаних з коренями кубічних рівнянь, привело італійського алгебриста Р. Бомбеллі до відкриття комплексних чисел. Завойовували права громадянства від’ємні числа, потім – комплексні, учені почали вільно застосовувати ірраціональні числа. Особливо далеко було просунуто в XVIII ст. розв’язування систем лінійних рівнянь – для них були отримані формули, що дозволяють виразити розв’язок через коефіцієнти і вільні члени. Подальше вивчення таких систем рівнянь привело до створення теорії матриць і визначників. В кінці XVIII ст. було доведено, що будь-яке рівняння алгебри з комплексними коефіцієнтами має хоч би один комплексний корінь. Це твердження носить назва основної теореми алгебри.

Протягом двох з половиною сторіч увага алгебраїстів була прикована до завдання про виведення формули для розв’язування загального рівняння 5-ого степеня. Треба було виразити корені цього рівняння через його коефіцієнти за допомогою арифметичних операцій і витягань коренів (розв’язати рівняння в радикалах). Лише на початку XIX ст. італієць П. Руффіні і норвежець Н. Абель незалежно один від одного довели, що такої формули не існує. Ці дослідження були завершені французьким математиком Е. Галуа, методи якого дозволяють для кожного даного рівняння визначити, чи розв’язується воно в радикалах.

На початку XIX ст. були розв’язані основні завдання, що стояли перед алгеброю в першому тисячолітті її розвитку. Були розроблені правила буквеного числення для раціональних і ірраціональних виразів, з'ясовано питання про розв’язування рівнянь в радикалах і побудована строга теорія комплексних чисел. Поверхневому спостерігачеві могло здатися, що тепер математики розв’язуватимуть нові і нові класи рівнянь алгебри, доводитимуть нову тотожність алгебри і так далі. Проте розвиток алгебри пішов іншим шляхом: з науки про буквене числення і рівняння вона перетворилася на загальну науку про операції і їх властивості. Наприклад, ірраціональні рівняння і нерівності можна розглянути як над полем комплексних чисел, так і над полем дійсних чисел.

1.2.2. Ірраціональні рівняння і нерівності над полем дійсних чисел

Сучасна алгебра, як наука, є досить широким розділом математики, що складається з великого числа дисциплін (теорія груп, кілець, полів, лінійна алгебра і так далі). Предметом вивчення сучасної алгебри є операції, що володіють деякими, цілком певними властивостями, і множини, над елементами яких встановлюються ці операції (кільця, поля, групи). Розглянемо ірраціональні рівняння, нерівності над полем дійсних чисел. В.І. Новосельцев в підручнику для фізико-математичних факультетів дає досить повний виклад матеріалу по даній темі.

При розв’язуванні ірраціональних рівнянь в полі дійсних чисел допустимі значення для невідомих і для радикалів повинні задовольняти додатковим умовам, які випливають з умов здійснимості добування кореня і із змісту символу у полі дійсних чисел, саме:

1°. Для невідомих за допустимі вважаються лише ті системи дійсних значень, при яких значення підкореневих виразів радикалів (кожного) парного степеня невід’ємні.

2°. Значення радикалів парного степеня невід’ємні, тобто завжди позначає арифметичний корінь.

3°. Значення кореня непарного степеня при довільному дійсному А є єдине дійсне його значення.

Розв’язання ірраціонального рівняння в полі дійсних чисел за допомогою виключення радикалів може привести до появи сторонніх розв’язків. Насправді, викладеними методами знаходять всі розв’язки ірраціонального рівняння в полі комплексних чисел, із безлічі цих розв’язків слід вибрати лише ті, які задовольняють додатковим умовам 1о-3о.

Тому при розв’язанні ірраціональних рівнянь в полі дійсних чисел за допомогою виключення радикалів необхідна перевірка розв’язків шляхом підстановки в дане рівняння, якщо в процесі розв’язання не проводилося дослідження здійснимості умов 1о-3о. Якщо в даному рівнянні який-небудь радикал замінити іншим його значенням, то рівняння, що виходить в результаті виключення радикала не зміниться. Зі всіх комплексних значень радикала парного степеня (де А>0) два його значення дійсні: ± . Тому при розв’язанні рівняння, що містить дійсні радикали парного степеня, за допомогою виключення радикалів можуть з'явитися сторонні розв’язки, що належать рівнянням, що виходять з даного зміною знаків перед радикалами парного степеня на протилежні.

Зведення обох частин рівняння до непарного степеня еквівалентності (над полем дійсних чисел) рівняння не порушує і до сторонніх розв’язків привести не може, піднесення ж обох частин до парного степеня в загальному випадку порушує еквівалентність рівняння. Теорема. При розв’язанні рівняння √(2k&P(x,y,…,z))=Q(x,y,…,z) у полі дійсних чисел можливо звести обидві частини в степінь 2к: Р(х,у...,z)=Q^2k(x,y.,z), поставивши додаткову умову P(x, у...,z) ≥0.

Приклад. Розв’язати рівняння x+x+√(x-1)=7)=7.

Розв’язання. Розв’яжемо рівняння в полі комплексних чисел. Вважаємо допустимими для х і для радикала будь-які комплексні значення. Поклавши √(x-1)=y отримаємо систему рівнянь {x+y=7,y^(2 )=x-1.}

Підставляючи у з першого в друге, виключаємо радикал і отримуємо квадратне рівняння x^2—15х+50=0. Звідки: х=5 і х=10. При х=5 маємо у=2, тобто значення радикала слід узяти рівним числу 2. При х=10 маємо у=-З, тобто значення радикала слід узяти рівним числу -З. Виключення радикала можна виконати зведенням в квадрат обох частин рівняння: Після виконання перетворень отримаємо те ж саме квадратне рівняння. У полі комплексних чисел рівняння має два розв’язки. Для розв’язання того ж самого рівняння в полі дійсних чисел треба поставити наступну додаткову умову: y≥0; цій умові задовольняє лише розв’язок х=5. Таким чином, в полі дійсних чисел рівняння має єдиний розв’язок. Рівняння x+√(x-1)=7 і x- √(x-1)=7 над полем комплексних чисел не є різними, оскільки безліч значень обох радикалів є однією і тією ж парою взаємно протилежних чисел. Над полем дійсних чисел ці рівняння різні, оскільки в цьому полі квадратні радикали не від’ємні √(x-1)≠-√(x-1)- (якщо х≠1). Означення. Ірраціональною нерівністю називається нерівність виглядуf(x,y,…,z)V 0 де: f(x,y.z) – ірраціональна функція від незалежних. При розв’язанні ірраціональних нерівностей нерідко користуються способом «виділення» радикала з наступним піднесенням обох частин нерівності до степеня, рівного степеню радикала.

Приклад. Розв’язати нерівність √(x^2-3x+2)-3-x>0.

Алгебраїчне розв’язання. Маємо: √(x^2-3x+2)>3+x

Допустимі значення невідомого допускаються умовою:x^2-3x+2≥0 звідки -∞<x≤1 і 2≤x<+∞. При x≤3 права частина від’ємна і нерівність виконується. При x>-3 підносимо до квадрату обидві частини  :x^2-3x+2>9+6x+x^2 або -9x-7>0 Звідки -∞<x<-7/9 Отже, нерівність має місце на проміжках (-∞; -3] і (-3; - 7/9), тобто на інтервалі (-∞;-7/9).

Було розглянуто питання елементарної математики з позиції вищої математики. У шкільному курсі таке подання теми, звичайно ж, неможливе через ряд об'єктивних причин.

1.2.3. Особливості викладання в 8 – 9, 10 -11 класах

Як показали дослідження психологів, відношення учнів до навчання залежить від того, наскільки вчитель орієнтується у викладанні, тому знання вчителя не повинні обмежуватися лише шкільним матеріалом. Але вчитель також повинен враховувати вікові і індивідуальні особливості учнів. Наприклад, форма викладу матеріалу, описана в пункті 1.2.2. не можлива в середній школі. Що ж повинен знати вчитель про особливості викладання в 8 – 9, 10 – 11 класах?

У старшому підлітковому віці (14-15 років) основна діяльність – це спілкування, де головним мотивом поведінки підлітка є прагнення знайти своє місце серед однолітків. Оцінка товаришів набуває першорядного значення, ніж оцінка поведінки або окремих дій підлітка вчителем . У цьому віці старший підліток максимально схильний до впливу групи однолітків і їх цінності стають його цінностями. У спілкуванні і спільній діяльності відбувається бурхливе засвоєння соціальних норм і проектування їх на свою особу.

Специфічного перетворення зазнає і процес навчання. Засвоєння мислення в поняттях дає можливість проникати в суть предметів і явищ, розуміти закономірності між ними. Проте відсутність життєвого досвіду приводить до перебудови мотиваційно-пізнавальної сфери, виникає інтерес по відношенню до певного навчального предмету, який пізніше може виявитися помилковим в силу знову ж таки відсутністі опори на безпосередній власний досвід. У зв'язку з цими явищами центральними новоутвореннями можна назвати абстрактне мислення, самосвідомість, закріплення статевої ідентифікації, появу відчуття «дорослості».

Криза старшого підліткового віку виражається в наступних новоутвореннях: дедуктивне мислення, переоцінка цінностей, ефект неадекватності. Причому останнє новоутворення достатньо хворобливо відчувається старшими підлітками і може виявлятися не лише в прихованих переживаннях, але і в агресивній зовнішній формі.

У результаті сказаного витікає, що треба тактовно допомагати старшому підліткові, щоб у нього сформувалося правильне, об'єктивне уявлення про себе. Слід чітко сформулювати вимоги до відповідей учнів: для хорошої і задовільної відповіді недостатньо простого відтворення пропонованої інформації, необхідно вимагати прояву самостійних і різноманітних навиків інтелектуальної роботи. Спеціальним педагогічним і методичним завданням повинне стати формування у школярів адекватної самооцінки в навчальній діяльності, яка сприяє розвитку правильного відношення до власних успіхів і невдач. Велике значення в цьому плані має формування правильного відношення підлітків до своїх навчальних помилок. Учень повинен засвоїти, що помилки в певній мірі неминучі в ході нормальної пізнавальної діяльності і можуть допомогти глибше зрозуміти матеріал, що вивчається.

Старший шкільний вік, або вік ранньої юності – період життя людини 16-18 років. Кажучи про учнів цього віку, психологи відзначають: «У їх психологічному образі найчастіше поєднуються: активність аналізуючої думки, схильність до міркувань і особлива емоційність, вразливість. Таке поєднання рис «розумового» типу і рис «художнього» типу характеризує неповторну своєрідність віку і, мабуть, є умовою різностороннього розвитку надалі».

Основу психологічного розвитку хлопця або дівчини складає професійне самовизначення. Мотиви, пов'язані з майбутнім, починають змінювати відношення до своєї навчальної діяльності. Хлопці і дівчата проявляють велику вибірковість до навчальних предметів, яка, втім, не завжди відповідає їх реальній схильності.

Юнацький вік цікавий ще однією важливою характеристикою. Оскільки мислення набуває особистісно емоційного характеру , то в свідомості молодої людини уживаються дві тенденції: «думати про себе» і «думати про проблеми всесвіту  ». Ці тенденції не лише уживаються одна з одною, але і взаємозв'язані між собою. Так, пошук свого місця в житті починає розглядатися у філософських категоріях і виникає прагнення вирішувати свою долю у світовому масштабі». З’являється тенденція постійно утверджувати свої погляди, свою позицію, своє розуміння світу і всіх оточуючих.

Юнацький вік – вік непримиренності, філософських і життєвих крайнощів; у нім немає місця компромісам, а є тільки два кольори: чорний і білий. Причому все це відбувається з молодими людьми на великому емоційному підйомі, зі всією гарячковістю, яка властива молодості. Подібну емоційну поведінку називають «юнацька гебефренія» - одержимість.

Таким чином, даний вік характеризується посиленням пізнавальної діяльності, яка стає такою, що веде, не до кінця усвідомлюваною підготовкою до дорослого життя, яскравими емоційними реакціями. Центральне новоутворення – професійне самовизначення, конкретизація ціннісних орієнтирів. Для розвитку абстрактних елементів розумової діяльності доцільно належну увагу приділяти формам роботи по аналізу різних видів моделювання і схематизації одного і того ж завдання. Необхідно вчити молодих людей сприймати будь-яке конкретне завдання як вираження загальних залежностей даного предмету. Узагальнення повинне переноситися з одного предмету на інший, тому зростає роль між-предметних зв'язків. Крім того, навчальні інтереси стають стійкішими, набувають найбільш особистісного і активного характеру. Проте поряд з цими тенденціями, що свідчать про більшу зрілість навчальних інтересів, у школярів можна відзначити і деякі інфантильні риси. Навчальні інтереси у багатьох існують як би самі по собі. Інтерес знижується, якщо вчитель орієнтується лише на можливості середнього учня. Тому при розробці тематичних і поурочних планів, при підборі навчального і ілюстративного матеріалу вчитель повинен враховувати характер потреб учнів, з тим, щоби зміст навчального матеріалу задовольняв і сприяв розвитку школярів. Розвиток пізнавальних інтересів, зростання свідомого відношення до навчання стимулює подальший розвиток довільних пізнавальних процесів (сприйняття, пам'яті, уяви, мислення), уміння управляти ними. Спостереження стає ще більш цілеспрямованим і систематичним. У розвитку пам'яті помітно збільшується роль словесно-логічного, змістовного запам'ятовування. Старші підлітки користуються прийомами запам'ятовування – складанням планів, схем, виділенням головних думок , порівнянням і так далі. Зростає значення довільної уваги. Помітно розвивається і удосконалюється здібність до зміни і розподілу уваги (одночасно слухати і писати). Ще одна особливість уваги – його вибірковість. Під впливом специфічної організації навчальної діяльності істотні зміни відбуваються у мисленні.


1.2.4. Різні підходи до вивчення теми «Ірраціональні рівняння і нерівності» в підручниках

Тему «Ірраціональні рівняння і нерівності» не можна віднести до легко засвоюваної. Її традиційне вивчення зосереджене в рамках курсу VIII – ХI класів, що дозволяє повноцінно враховувати вікові можливості учнів у формуванні ряду умінь і навиків, але часу на вивчення теми відведено небагато. Перш за все, відмітимо, що при викладі даної теми реалізуються багато загальних методичних особливостей, характерних для курсу в цілому.

У всіх підручниках при вивченні квадратного кореня і його властивостей (8 – 9 класів) розв’язуються прості ірраціональні рівняння виду√(f(x))=a,де f(x) – многочлен від х, а – деякі числа. Основні ж методи розв’язання ірраціональних рівнянь і нерівностей розглянуті в підручниках 10 – 11 класів (академічного і профільного рівнів ).

Порівняльний аналіз підходів до вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей в різних підручниках «Алгебра і початки аналізу, 10–11». Підручник А.Н.Колмогорова і ін. (видавництво «Освіта») — найперший підручник для старшої школи, написаний після реформи 60–70-х років. Це підручник «для всіх», він відрізняється простотою навчальних текстів, має достатню кількість прикладів для розгляду. Але в даному підручнику ще не знайшло віддзеркалення посилення вимог конкурсних іспитів до техніки розв’язування рівнянь, нерівностей, у тому числі і ірраціональних. Основна змістовна лінія окремих підручників — дослідження функцій. Ірраціональні рівняння і нерівності вивчаються в 10 класі.(Є.П. Нелін). Підручник міститься весь теоретичний і практичний матеріал, необхідний для реалізації навчання на трьох рівнях. Включений різноманітний додатковий матеріал: тести по перевірці готовності вивчення тем, таблиці очікуваних результатів навчання, дослідницький, довідковий матеріал. Є контрольні завдання трьох рівнів складності, завдання на повторення, історичні відомості і інші матеріали. Але задачного матеріалу явно недостатньо.

В кінці підручника є завдання підвищеної складності, є матеріал для підготовки у вузи. Пропонуються наступні методи розв’язання ірраціональних рівнянь: 

• піднесення обох частин рівняння до п-го степеня;

• виділення радикала і подвійне піднесення до квадрату;

• введення нової змінної; метод розв’язання ірраціональних рівнянь, що містять кубічний радикал , а також деякі нестандартні методи.

Але підбір рівнянь обмежений, наприклад рівняннями, що мають корені зручні для перевірки. Підручник містить завдання не тільки з простими ірраціональними нерівностями, але і нерівностями, що розв’язуються введенням нової змінної, методом інтервалів. Проте уміння розв’язувати ірраціональні нерівності є необов'язковими для учнів, і відповідний параграф пропонується для самостійного вивчення. Враховуючи сучасні вимоги, що пред'являються на ДПА і на ЗНО для вступу у вищі навчальні заклади до математичної підготовки учнів, і той факт, що дана тема є достатньо важкою для самостійного вивчення учнів, на вивчення розділу повинен знаходитися додатковий час.

При вивченні ірраціональних рівнянь автори обмежуються розглядом розв’язання таких рівнянь, наслідком яких є корені, зручні для перевірки безпосередньою підстановкою в початкове рівняння. І нічого не говорять про складніший випадок, коли така підстановка неможлива, тобто про розв’язанні рівняння переходом до рівняння, рівносильного йому на деякій множині, або переходом до рівносильної системи. При розв’язанні ірраціональних нерівностей автори використовують поняття області визначення нерівності. Є завдання з параметрами. Рівня складності розглянутих в підручнику ірраціональних рівнянь і нерівностей явно недостатньо для розв’язання конкурсних завдань вузів, що пред'являють високі вимоги до математичної підготовки випускників школи. Про це говорить і рівень завдань, які автори включають в контрольні роботи. Тоді не зовсім зрозуміло, чим забезпечується робота класів з поглибленим вивченням математики, якщо автори вважають, що і в них підручник можна використовувати?

Вибираючи підручник для роботи, треба добре знати його особливості, на що він націлений, окрім «виконання програми». У підручнику ключовими положеннями концепції курсу алгебри є:

 математика в школі – не наука, а навчальний предмет;

 математика – предмет швидше гуманітарний, чим природничо-науковий, предмет, основна цінність якого полягає в його загальнокультурній значущості;

 стержень курсу – математична мова і «м'яке» математичне моделювання;

 пріоритет в школі віддається функціонально-графічній лінії.

Треба знати «сильні» сторони підручника і способи компенсації його «слабких » сторін, не драматизуючи саму наявність недоліків . Одна з сильних сторін підручника – використання завдань розвиваючого характеру .

1.3. Методико-педагогічні проблеми при вивченні ірраціональних рівнянь і нерівностей в середній школі

В сукупності всі розглянуті вище причини (кількість годин на вивчення даної теми по базисному плану,стан навчальної літератури, вікові і психологічні особливості старших підлітків і так далі породжують ряд проблем. Які ж ці проблеми?

Ірраціональні рівняння, як правило, викликають труднощі, тому вимагають хорошого знання теоретичного матеріалу, уміння проводити дослідження різних ситуацій. Більшість помилок пов'язана з формальним і поверхневим засвоєнням учнями основних понять і методів розв’язання ірраціональних рівнянь. У багатьох учнів єдиним стійким знанням є застосування методу зведення обох частин рівняння до одного і того ж степеня, учні іноді забувають робити перевірку знайденого кореня. Для деяких цей метод є єдиним. Тому, головна проблема, з якою зустрічається вчитель при підготовці уроків по даній темі, полягає в тому, що стан питання на момент вивчення матеріалу випереджає інформацію про це в навчальній літературі. Вчитель вимушений використовувати відомості із зовнішніх джерел, відшкодувати відсутність єдиного узагальнення по даній темі в курсі алгебри 10-го класу.

В деяких випадках труднощі можуть виникнути із-за слабких знань з раніше вивчених тем(арифметичний квадратний корінь, його властивості). Типові помилки, що допускаються учнями при розв’язанні ірраціональних рівнянь:

 неправильно вказана або не вказана область допустимих значень (не враховано, що вираз під знаком кореня парного степеня має бути невід’ємним, наприклад √(x+2)-x+1=0 ОДЗ:x є R );

 область допустимих значень не врахована при отриманні відповіді;

 не враховано, що квадратний арифметичний корінь – невід’ємна величина (√(x-3)^2 -√(x+2)=-1; x-3 - √(x+2)=-1 );

 при піднесенні рівняння до квадрату не враховані знаки обох його частин √(x+2)=x-2; x1 =(5-√17)/2; x2=(5+√17)/2 );

 нееквівалентна заміна змінною; ділення на вираз, що містить невідому величину.

Іншою трудністю є хронічний брак часу, що відводиться програмою на вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей. Існує декілька хороших посібників по розв’язанню ірраціональних рівнянь і нерівностей, що містять велику кількість різнорівневого тренувального матеріалу з докладними розв’язаннями, у тому числі і для самостійної роботи, призначених для поглибленого вивчення шкільного курсу математики. Ці посібники можуть бути використані вчителями математики для підготовки до уроків і організації додаткових занять з школярами.

1.4. Застосування методичних розробок на практиці

З простими ірраціональними рівняннями учні знайомляться в 8 класі після вивчення теми “Квадратне коріння. Арифметичний квадратний корінь”. Потім під час вивчення всього шкільного курсу алгебри 9–11 кл. продовжуємо розв’язувати з учнями ці рівняння, поступово додаючи нові типи після вивчення відповідного матеріалу в підручнику. У 10 класі на вивчення ірраціональних рівнянь я виділяю 3 години по базисному плану і 2 години за рахунок уроків, відведених на повторення.

1.4.1. Методика вивчення ірраціональних рівнянь в курсі алгебри 8 – 9 класів Отже, перше знайомство учнів з ірраціональними рівняннями відбувається при вивченні теми «Квадратні рівняння» в 8 класі, на розв’язання ірраціональних рівнянь відводиться 3 години. Ефективності викладання можна добитися, використовуючи елементи блоково-модульної технології. На першому уроці (інформаційний цикл) розглядається весь теоретичний матеріал, розв’язуються вправи. На другому уроці (практичний цикл, самозагрузка), ставиться мета, виділяються опорні завдання, планується діяльність вчителя і учня. Учень працює з текстом, відповідаючи на контрольні питання. На даному уроці йде відпрацювання навиків і умінь. При повторенні теоретичного матеріалу, знову звертається увага на той факт, що рівність √a=b є вірною, якщо виконується дві умови:1).b≥0; 2)b^2=a і на той факт, що при будь-якому значенні а, при якому вираз √a має сенс, вірна рівність: (√a )^2=a . Бажано на стенді «Сьогодні на уроці»

√a=b (√a )^2=a
1).b≥0;
2)b^2=a 
a≥0

залишити такий запис:

На третьому уроці (практичний цикл, відпрацювання навиків і перевірка знань) необхідне проведення самостійної роботи навчального характеру та перевірної роботи.

Продемонструю методику вивчення ірраціональних рівнянь на різних етапах уроків по фрагментах, тобто не на прикладі одного уроку, а при розгляді епізодів декількох уроків.

Введення нового поняття. При першому ознайомленні з новим навчальним матеріалом (із застосуванням проблемного навчання) слід  :

а) створити проблемну ситуацію;

б) залучити учнів до проблемної ситуації і сформулювати навчальну мету;

в) вирішити проблему;

г) проаналізувати, узагальнити і оцінити роботу по вирішенню проблеми і здійсненню навчальної мети.

Кожен учень повинен мати право і фактично брати участь в постановці окремих завдань навчальної роботи, в плануванні цієї роботи або брати участь в її обговоренні, якщо цілі і плани задаються ззовні. Розглянемо методику введення поняття ірраціональне рівняння і його визначення на уроці.

Формування поняття містить два етапи:

 чуттєвий (що полягає в утворенні відчуттів, сприйнять і уявлень) і

 логічний (перехід від уявлення до поняття за допомогою узагальнення і абстрагування).

Тип уроку (на якому вводиться поняття) і застосування педагогічної технології: вивчення і первинне закріплення нових знань, модульна технологія.

Інтегруючі цілі модуля:

• Засвоїти визначення ірраціонального рівняння.

• Уміти розв’язувати прості ірраціональні рівняння ( зведенням обох частинрівняння в квадрат, заміною рівносильним рівнянням).

• Розвивати навчальні уміння і навики в самостійній роботі з підручником, уміння класифікувати, узагальнювати і робити висновки.

• Сприяти розвитку логічного, критичного мислення.

1. Блок актуалізації - опорні знання і способи дії, необхідні для засвоєння нового матеріалу, представленого в проблемному модулі. Актуалізація опорних знань і способів дій є своєрідним "пропуском" в проблемний модуль.

До дошки викликаються троє учнів (перевірка домашнього завдання ), а клас працює усно (теоретичні питання по темі «Арифметичний квадратний корінь»).

1-й учень розв’язує рівняння: 5х = 1; 0х=0;0х=1; 3х=0.

2-й учень розв’язує рівняння: x2+10 х+21=0; –-x2+6 х–5 =(8 –2x)2.

3-й учень розв’язує рівняння графічно: x^2 + 2 =x/3

Усна робота з учнями класу.

Чуттєва степінь в процесі формування поняття відповідає «живому спогляданню», і тому вимагає засобів наочності.

 Завдання на увагу (розвиток зорової пам'яті):

Зобрадення ірраціональних чиел в різних геометричних пердметах на різному тлі.

Вчитель декілька секунд показує картку із завданням класу, а потім прибирає її і ставить питання:

1. Перерахуєте всі числа, які ви бачили.

2. У якій геометричній фігурі знаходиться?

3. Якого кольору це коло?

4. Квадратний корінь з якого числа знаходиться в квадраті?

5. Яким кольором записаний?

6. У якій геометричній фігурі він розташований?

7. Як називаються розглянуті числа? (У підручнику ірраціональні числа вивчаються після ірраціональних рівнянь, але я даю поняття ірраціонального числа раніше, ніж рекомендується).

 Знайдіть значення виразів:

Проаналізуйте ситуацію, зробіть висновок.

2. Блок "вхід" - контрольний (як правило, використовуються тестові завдання).

Історичний блок - Постановка історико-наукових проблем.

3. Блок класифікації і узагальнення - Структурно може бути оформлений у вигляді блок-схеми, опорних конспектів, алгоритмів, символічного запису і т.п.

Логічний ступінь формування поняття.

На дошці після перевірки домашнього завдання розв’язанні рівняння:

5х = 1; 0х=0;0х=1; 3х=0. x2+10 х+21=0; –-x2+6 х–5 =(8 –2x)2. x2 + 2 =3/х

Питання: З якими видами рівнянь ви знайомі? По відповідях учнів і за допомогою учнів малюється схема (родовід поняття):

Придумати свої приклади, дати визначення. Після класифікації рівнянь, провести узагальнення.

4. Проблемний блок - постановка проблеми. Можливе об'єднання проблемного і історичного блоків.

Яку проблему може нести знак запитання в схемі?

Проблема: чи існують рівняння інших видів?

Запропонувати учням скласти рівняння іншого вигляду (при затрудненні – рівняння, що має відношення до даної теми). Попросити дати визначення ірраціонального рівняння через найближчий рід (рівняння) і видові відмінності (наявність радикала).

Означення. Рівняння, в яких під знаком кореня міститься змінна, називають ірраціональними.

Із запропонованих рівнянь назвіть номери тих, які є ірраціональними:

1) =10; 2)  ; 3) ; 4) ; 5)  ; 6) .

Визначення поняття ірраціонального рівняння дане, можна приступати до отримання і алгоритмізації методів розв’язання ірраціональних рівнянь.

5. Теоретичний (основний) блок містить основний навчальний матеріал, розташований в певному порядку: дидактична мета; формулювання проблеми (завдання); обгрунтування гіпотези; вирішення проблеми; контрольні тестові завдання.

Завдання: навчити розв’язувати нескладні ірраціональні рівняння; дати перші уявлення про поняття рівносильності рівнянь, про рівносильні і нерівносильні перетворення рівняння, про сторонні корені і перевірку коренів при розв’язанні рівнянь.

До розв’язання ірраціональних рівнянь повертаємося при вивченні наступної теми «Дійсні числа».

Завдання: довести формулу √(x^2 )=|x| і навчити школярів використовувати її при перетворенні ірраціональних виразів, розв’язанні ірраціональних рівнянь.

Приклади рівнянь:3-√(x^2-2x+1)=1, √(〖(y-1)〗^2 )+√(〖(y-3)〗^2 )=4 і тому подібне

В курсі алгебри 9 класу ірраціональні рівняння можна розв’язувати при вивченні теми «Системи рівнянь» (метод підстановки, метод алгебраїчного додавання, метод введення нових змінних).

1.4.2. Методика вивчення ірраціональних рівнянь в курсі алгебри 11 класу

У даному пункті роботи мені хотілося б розповісти і поділитися технологією роботи на прикладі одного проблемного модуля «Ірраціональні рівняння» (11 клас повторення), всі інші будуються в основному за таким же принципом. Викладання даної теми складається з п'яти етапів.

Інтегрована мета модуля:

1. Познайомитися з новими видами ірраціональних рівнянь.

2. Вчитися складати алгоритми розв’язання ірраціональних рівнянь.

3. Навчитися нестандартним прийомам розв’язання рівнянь.

4. Освоєння даного модуля сприятиме розвитку логічного мислення, умінь працювати самостійно з навчальною літературою. Розглянемо декілька блоків окремо.

Операційно-діяльнісний блок (проблемний блок, практикум ) – постановка укрупненої проблеми, на розв’язання якої і направлений проблемний модуль. На етапі освоєння нового навчального матеріалу (повторення, закріплення, тренування) треба:

а) створити навчальну проблемну ситуацію і поставити навчальне завдання; 

б) здійснити дане завдання;

в) проконтролювати і оцінити результати навчальної роботи кожного учня.

Методи розв’язання ірраціональних рівнянь розглядають на практикумі, який супроводжується постановкою проблемних питань.

1. Постановка проблеми, формулювання мети.

2. Вступний контроль; актуалізація опорних знань. (Визначення. Рівняння з однією змінною f(x)=g(x) називають ірраціональним, якщо хоч би одна з функцій f(x) або g(x) містить змінну під знаком радикала.

При розв’язанні ірраціональних рівнянь необхідно встановити область допустимих значень змінних, виходячи з умови, що всі радикали, що входять в рівняння, мають бути арифметичними.)


Важливо навчити розв’язувати не тільки рівняння, але і задачі. Ефективне використання навчальних задач при вивченні математики сприяє активізації самостійної пізнавальної діяльності учня. Приведемо приклади завдань, які можна розглянути з учнями, наприклад, на третьому уроці по даній темі.

Завдання. При обчисленні площі рівнобедреного трикутника єгиптяни брали половину добутку основи на бічну сторону. Обчислити у відсотках, якою є похибка, якщо основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4, а бічна сторона – 10.


Розв’язання: По єгипетському способу , де a – основа , b – бічна сторона рівнобедренного трикутника. Позначивши висоту трикутника через h, знайдемо: .

     Точніше значення площі виражається за формулою:
, 

звідси , тобто , похибка небільше 2%.

      Використовуючи теорему Піфагора, побудувати прямокутний трикутник із гіпотенузою: а)  ; б)  .
 Розв’язання.

А) Нехай a і b – катети шуканого прямокутного трикутника, а с- його гіпетенуза. За умовою с= , значить с2=13. За теоремою Піфагора c2=a2+b2, тобто 13=a2+b2. Число 13 можна представити у вигляді суми двох додатніх чисел, які додаються різними способами, можливо і так: 13=4+9=22+32. Одним із важливих видів завдань є вправи. В основному при вивченні даної теми вправи містять рівняння , але характер завдань різний. Застосовуються задачі: стандартні : розв’язати рівняння методом піднесення обох частин рівняння до квадрату  ; навчаючі: доведіть , що рівняння f(x) = g(x) і (f(x))3 = (g(x))3 рівносильні і розв’язати рівняння : а)  ; б)  ; пошукові: розв’язати рівняння з параметром : а) , б) , в) г)  ; проблемні: в ході розв’язування ірраціонального рівняння доводиться підносити обидві частини рівняння до парного степеня. Але в цьому випадку можуть з’явитися посторонні корені, тобто, корені рівняння А(х)=В(х).

Отже, яка причина появи посторонніх коренів?

На наступних уроках учням варто запропонувати рівняння, які розв’язуються нестандартними способами (Додаток 5) , рівняння запропоновані на ДПА, із збірників завдань для поступаючих у ВНЗ.

На мій погляд, без домашніх завдань не обійтися. Що дає можливість задати домашнє завдання, і не провести урок? Можливість трудитися спокійно, без поспіху, не чекаючи оцінок вчителя і товаришів; працювати не з максимальною, але оптимальною для того або іншого учня силою; самостійно планувати черговість видів діяльності, хід зробленої роботи; застосовувати по своєму бажанню додаткову літературу; привести всі знання в систему. В процесі виконання домашнього завдання розв’язуються такі дидактичні завдання:

 вторинне повторення навчального матеріалу теми уроку;

 повторення і осмислення навчального матеріалу на рівні навчальної теми і всього курсу з урахуванням нових знань і умінь, які були отримані учнями в результаті вивчення теми уроку;

 подальше осмислення нової інформації,засвоєної в результаті вивчення теми уроку;

 сприяння розвитку навиків самостійної роботи учнів.

 Підготувати хороше домашнє завдання для учнів , яке б відповідало всім дидактичним вимогам, не просто.

Потрібно застосовувати прийом «Три рівні домашнього завдання»:

вчитель одночасно задає домашнє завдання два або трьох рівнів.

Перший рівень - обов'язковий мінімум. Головна властивість цього завдання:

воно має бути абсолютне зрозумілим і посильним будь-якому учневі .

Другий рівень завдання - тренувальний. Його виконують учні, які бажають добре знати предмет і без особливих труднощів освоюють програму.

По розсуду вчителя ці учні можуть звільнятися від завдання першого рівня. 

Третій рівень використовується вчителем залежно від теми уроку, підготовленості класу.

Це - творче завдання (реферат, газета, дидактичний матеріал і так далі).

Контроль знань і умінь учнів є важливою ланкою навчального процесу, від правильної постановки якого багато в чому залежить успіх навчання. Виділяють наступні цілі контролю знань і умінь учнів:

-діагностування і коректування знань і умінь учнів  ;

- облік результативності окремого етапу процесу навчання  ;

-визначення підсумкових результатів навчання на різному рівні.

При вивченні ірраціональних рівнянь застосовувалися всі види контролю:
поточний, 

фронтальний,

індивідуальний.

Традиційні форми контролю, які я застосовую в своїй роботі:

математичний диктант;

тестові завдання  ;

коротка самостійна робота;

письмова 

перевірочна робота;

підсумкова контрольна робота;

практична робота; 

усний або письмовий залік по вивченій темі.



1.5. Диференціювання і індивідуалізація навчального процесу

Диференційовані завдання - елемент розвиваючого навчання , при якому засвоєння знань виступає як процес активної самостійної роботи учня. Ці завдання мають різну мету: • перевірити, як засвоїли учні систему знань і навичок , як вони їх застосовують до розвязування навчальних завдань; • дозволяють кожному учневі вибрати індивідуальний освітній маршрут; • виявляють творчі можливості учня. Використовувати диференційовані завдання можна на різних етапах уроку і в різних типах уроків.


У класно-урочній системі працювати доводиться одночасно з сильними, середніми і слабкими учнями. Це вимагає розробки до кожного уроку завдань різної степені складності. Зараз по математиці видається велика кількість літератури з різнорівневими завданнями , тестами, самостійними і контрольними роботами. Різнорівневі завдання забезпечують реалізацію індивідуального підходу до учнів з урахуванням їх інтересів і розумового розвитку.

1.6. Використання інформаційних технологій на уроках математики Розвиток обчислювальної техніки дозволив використовувати технічний прогрес на благо навчально-виховному процесу. Щоб ефективно використовувати комп'ютер в навчальному процесі, необхідно вирішити безліч проблем, насамперед психолого-педагогічних. Зазвичай наголошуються наступні сильні сторони комп'ютера:

-   новизна роботи з   комп'ютером викликає у   учнів підвищений інтерес до роботи з  ним  і підвищує  мотивацію навчання  ;
- колір, мультиплікація, музика, звук  розширюють можливості  представлення інформації;

- комп'ютер дозволяє будувати індивідуальне навчання на основі моделі учнів, що враховує історію його навчання і індивідуальні особливості пам'яті, сприйняття, мислення;

       - за допомогою комп'ютера може бути реалізована особиста манера спілкування;
       - комп'ютер активно включає учнів в учбовий процес, дозволяє їм зосередити увагу на найбільш важливих   аспектах матеріалу, що вивчається, не квапить з розвязками  ; 

- на багато розширюються набори вживаних навчальних завдань  ;

       - завдяки комп'ютеру учні можуть користуватися великим об’ємом  раніше недоступної інформації.

У своїй практиці я використовую комп'ютер для проведення тестів, перевірки домашнього завдання, оформлення звітів за підсумками дослідницької діяльності.


1.7. Результати вивчення теми «Ірраціональні рівняння»

Очікувані результати. Учні повинні знати • поняття ірраціональне рівняння, радикал, • методи розв’язання ірраціональних рівнянь:  піднесення обох частин рівняння до п-го степеня;  виділення радикала і подвійне піднесення до квадрату;  введення нової змінної;  метод розв’язання ірраціональних рівнянь, що містять кубічний радикал.

       Учні повинні уміти застосовувати перераховані методи до розв’язання  ірраціональних рівнянь, а також застосовувати деякі нестандартні методи.  (Додаток 5, «Ірраціональні рівняння»)  


1.8. Ірраціональні нерівності в позакласній роботі Педагогічна діяльність вчителя багатогранна. Кожен вчитель не обмежує свою роботу лише уроками. Хтось із нас веде дослідницьку діяльність, хтось предметні гуртки , факультативи. Останнім часом набули широкого поширення такі форми позаурочної діяльності як спецкурс і елективний курс. Я розробила елективний курс «Ірраціональні нерівності» для учнів 11 класу. Вивчаючи шкільну програму, з'ясувала, що ірраціональні нерівності розглядаються в курсі середньої школи оглядово, вивчаються лише ірраціональні рівняння. Вони входять в розділ «Степеневі функції», і вчитель може приділити їм увагу протягом 2-3 уроків. Проте для тих учнів, які хочуть мати хорошу підготовку для вступу до ВНЗ цього явно недостатньо. Проглядаючи програми, що пропонувалися на вступних іспитах знаходимо, що окрім ірраціональних рівнянь в них пропонується розв’язати також ірраціональні нерівності:  ;  ;  ; і т. д.


1.9.Ірраціональні рівняння та способи їх розв’язання

1.Ірраціональні рівняння, які містять квадратні корені.

2.Ірраціональні рівняння, які містять кубічні корені.

3. Ірраціональні рівняння, які містять корені вищих степенів.

4. Рівняння виду


5. Рівняння, які містять f^2(x)g^2(x) i f(x)g(x), де f(x) і g(x) – ірраціональні відносно х вирази.

6. Ірраціональні рівняння, які містять ірраціональні вирази під знаком радикала.


7 Деякі нестандартні способи розв’язання ірраціональних рівнянь.


8. Ірраціональні рівняння з параметром.

Глава2. Психолого – педагогічні особливості вивчення теми «Ірраціональні рівняння і нерівності» в середній школі

2.1. Теоретичні основи теорії критичного мислення

Розроблену методику вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей можна розглядається в контексті проблемного навчання.

Основна мета проблемного навчання: сприяти розвитку в учнів критичного мислення.

Методи формування критичного мислення.

У зв'язку з цим вивчення критичного мислення як характеристики суб'єкта, як якісно певного способу саморегуляції особи (Б.В. Зейгарник, І.А. Кудрявцев і ін.), а також виявлення чинників, сприяючих його розвитку, набуває в даний час особливої актуальності. Сучасні уявлення про критичне мислення базуються на дослідженнях в різних галузях науки: психології (Б.В. Зейгарник, С.Л.Рубінштейн, Б.М. Теплов і ін.), педагогіки (Ш.А. Амонашвілі, Ч. Темпл, Дж. Став, К. Мередіт ), філософії (Платон, К. Поппер і ін.). Аналіз досліджень показав, що пріоритет в первинній розробці проблеми критичного мислення належить зарубіжним психологам (Д. Дьюї, Р. Пол, Д. Халперн і ін.). Проте відмінною рисою зарубіжних досліджень є переважання емпіричного підходу до вивчення феномену критичності мислення. Хоча фахівці з психології і суміжних з нею наук запропонували декілька визначень терміну критичне мислення, всі ці визначення досить близькі по змісту. Ось одне з найпростіших, що передає суть ідеї: критичне мислення — це використання когнітивної техніки або стратегій, які збільшують вірогідність отримання бажаного кінцевого результату. Це визначення характеризує мислення як таке, що відрізняється контрольованістю, обгрунтованістю і цілеспрямованістю, — такий тип мислення, до якого вдаються при розв’язанні завдань, формулюванні висновків, імовірнісній оцінці і ухваленні рішень. При цьому той, що думає використовує навики, які обгрунтовані і ефективні для конкретної ситуації і типу вирішуваного завдання. Інші визначення додатково вказують, що для критичного мислення характерна побудова логічних висновків, створення узгоджених між собою логічних моделей і ухвалення обгрунтованих рішень, що стосуються того, чи відхилити яку-небудь думку, погодитися з нею або тимчасово відкласти її розгляд. Всі ці визначення мають на увазі психічну активність, яка має бути направлена на розв’язання конкретної когнітивної задачі.

Слово критичне, використане у визначенні, пропонує оцінюючий компонент. Коли ми мислимо критично, ми оцінюємо результати своїх розумових процесів — наскільки правильно ухвалене нами рішення або наскільки вдало ми справилися з поставленим завданням. Критичне мислення також включає оцінку самого розумового процесу — ходу міркувань, які привели до наших висновків , або тих чинників, які ми врахували при винесенні рішення.

При навчанні старших школярів викладачі можуть ставити наступні завдання:

 засвоєння учнями знань про закони і методи логічного і критичного мислення, про основи критичності і самокритичності;

 оволодіння учнями гіпотетично-дедуктивною логікою мислення з елементами критичності;

 навчання умінням розуміти логічні процедури критичного мислення: пояснення і прогноз, доказ і спростування, доведення, аргументація, оцінка і самооцінка.

Під математичним стилем мислення розуміється цілий комплекс умінь: уміння класифікувати об'єкти, уміння відкривати закономірності, встановлювати зв'язки між різнорідними на перший погляд явищами, уміння ухвалювати рішення. Навчання математиці сприяє становленню і розвитку етичних рис особистості - наполегливості і цілеспрямованості, пізнавальній активності і самостійності, критичному мисленню. Критичне мислення формується через пізнавальну діяльність.

2.2. Методика формування критичного мислення при вивченні ірраціональних рівнянь і нерівностей в рамках блочно-модульної технології Помилковим з погляду сучасної психології і дидактики є твердження про те, що оволодіння самим змістом курсу математики автоматично формує мислення школярів, у тому числі і критичне. Одне з відповідальних завдань навчання математиці полягає в тому, щоб розвивати критичне мислення школярів, яке тісно пов'язане з математичним; удосконалювати уміння мислити, робити виснвки, тобто формувати розумову культуру, що характеризується певним рівнем розвитку мислення, оволодінням узагальненими прийомами міркувань, прагненням набувати знань і уміннь застосовувати їх у незнайомих ситуаціях. Один з напрямків цієї роботи - використання технологій проблемного навчання , проблемно-модульного навчання при вивченні математики. Які форми організації діяльності можна використовувати? 1. На уроці в процесі виконання завдань блоку дається установка на актуалізацію, роздуми, осмислення.

2. Узагальнення. Завдання 10 клас: складіть схему або таблицю методів, прийомів розв’язання ірраціональних рівнянь, виділіть які з них, на вашу думку, стандартні, а які нестандартні. 3. Критичне мислення розвивається при вдосконаленні навиків дослідницької роботи в рамках проекту «Ірраціональні числа відображають тільки ірраціональний світ чи задовольняють дійсному порядку і гармонії?»; при створенні Презентації «Історія нерозумних чисел». (Історія розвитку поняття ірраціонального числа. 4. Проблемне, яке пропонує творче завдання: розв’язати рівняння

. Жоден з методів вивчених раніше не дасть раціонального розв’язання  або навіть результату. Необхідно ввести  дві змінних (до цього моменту учні не розв’язували  рівняння таким методом).

Таким чином, можна розвивати критичне мислення учнів засобами блочно-модульної технології, в яку включені завдання проблемного характеру




Висновки

У даній роботі подано матеріал про методику вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей в середній школі з використанням технологій розвиваючого навчання, а саме: проблемного навчання і блочно-модульної технології. Методика вивчення ірраціональних рівнянь і нерівностей описується двома розділами. У першому розділі роботи досліджується теоретична сторона даної проблеми, характеризується проблемне навчання і блочно-модульна технологія, розкривається історія розвитку форм навчання з якнайдавніших часів до наших днів. Кожна форма має свої недоліки і переваги, тому, плануючи урок, вчитель повинен підібрати поєднання форм так, щоб підсилити сильні і нейтралізувати їх слабкі сторони. В другій частині подано психолого-педагогічні особливості вивчення теми «Ірраціональні рівняння та нерівності» в середній школі. При вивченні теми «Ірраціональні рівняння і нерівності» якість навчання підвищується, якщо педагог застосовує проблемне навчання і блочно-модульну технологію. Застосування розробленої методики на практиці сприяє розвитку критичного мислення учнів, дозволяє освоїти проектну діяльність. Створений дидактичний матеріал з розв’язання ірраціональних рівнянь і нерівностей з урахуванням вимог ДПА і вступних робіт ЗНО у ВНЗ.

Список використаної літератури

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Бевз Г.П. Методика викладання математики: Арифметика, алгебра, початки аналізу і геометрії.– К.: Вища школа, 1972.

2. Бевз Г.П. Методика викладання математики.– К.: Вища школа, 1989 .

3. Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення.– К.: Рад. школа, 1963.

4. Возна М. Спроби формування цілісної картини навколишнього світу в процесі навчання математики// Математика в школах України.-2005.-№30.

5. Григор'єв А.М. Ірраціональні рівняння. / / Квант.- 1972 .-№ 1.- с.46-49.

6. Державний стандарт базової і повної середньої освіти //Математика в школі.-2004.-№2.

7. Єгоров Г. Ірраціональні рівняння. / / Математика. Перше вересня. - 2002. - № 5. - С.9-13.

8. Єгоров Г. Ірраціональні нерівності. / / Математика. Перше вересня. 2002. -№ 15. - С.13-14.

9. Збірник тестових завдань з математики для абітурієнтів / В.І.Беспальчук, А.В.Прус, І.А.Сверчевська та ін.; Під. ред. В.В.Михайленка. – Житомир: ЖДТУ, 2005.

10. Інтерактивні технології на уроках математики: Навч. - метод. Посібник / Упоряд. І.С. Маркова – Х.: Вид. група «Основа», 2007 .

11. Капіносов А.М. Алгебра 9 клас: заключне повторення. Тестова перевірка знань, умінь і навичок.– Дніпропетровськ: Дніпро, 1993.

12. Капіносов А.М. Основи технології навчання. Проектуємо урок математики – Х.: Вид. група «Основа», 2006 .

13. Кларин М.В. Интерактивное обучение – инструмент освоения нового опыта // Педагогика. – 2000. – № 7. – с. 12–18.

14. Кованцов М.І. Математична хрестоматія: Алгебра і початки аналізу.– К.: Рад. Школа,1977.

15. Кушель О.В. Розвиток поняття про число. Ознаки подільності. Досконалі числа.– К.: Вища школа,1974 .

16. Макаричев Ю.М., Мигдюк Н.Г. та ін. Підручник: Алгебра 8 клас.– К.: Рад. Школа,1990 .


17. Панішко Ф. В. Три половини. Математична наука // Математика. — 2003. - № 7 (211).

18. Пометун О.І, Пироженко Л.В. Інтерактивні технології навчання: теорія, практика, досвід. – К.,2002.

19. Пометун О.І., Пироженко Л.В. Сучасний урок. Інтерактивні технології навчання: Наук.-метод. пос. – К.: Вид-во А.С.К.,2003.

20. Потапов М. Як розв'язувати рівняння без ОДЗ. / / Математика. Перше вересня,- 2003.-№ 21 . - С.42-43.

21. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Книга для учителя.– М.: Просвещение, 1987 .

22. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. – К.,: «Зодіак-ЕКО», 2000.

23. Урок математики в сучасних технологіях: теорія і практика: Метод проектів. Комп’ютерні технології. Розвивальне навчання / Упоряд. І. С. Маркова – Х.: Вид. група «Тріада». 2007.

24. Урок математики в сучасних технологіях: теорія і практика: Розвиток критичного мислення: Навч. – метод. посібник / Упоряд. І.С. Маркова – Х.: Вид. група «Основа». 2007 .

25. Фільчаков П.Ф. Довідник з елементарної математики для вступників до ВУЗів.– К.: Наукова думка, 1973.

26. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач.– М.:Просвещение, 1989.

27. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Навч. Посібник для учнів проф.-техн. Навчальних закладів.-К.: Техніка, 2000.

28. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Проб. Підруч. Для 10-11 кл.серед.шк. - К.: Зодіак-ЕКО, 1995.

29. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу:Підруч.для 10кл. загальноосвіт. навч. закладів.- К.: Зодіак-ЕКО, 2002.

30. О. І. Макаренко, В.Г. Овсієнко, В. І. Жлуктечко, В.А.Бегун, С.І.Наконечний «Конкурсні завдання з математики». –К, КНЕУ,1999 р.

31. В.І Михайлівський «Практикум з розв’язування задач з математики». – Київ: «Вища школа»,1975 р.

32. М.С. Залогін «Конкурсні завдання з математики». – Київ:«Техніка»,1967 р.

33. Ш.Г.Горделадзе, М.М. Кухарчук, Ф.П. Яремчук «Збірник конкурсних задач з математики» - Київ.: «Вища школа»,1977 р.

34. В.К. Егоров, В.В.Зайцев, Б.А. Кордемский, Т.Н. Маслова, М.И. Сканави « Сборник конкурсних задач по математике для поступающих во втузы». – Москва.: «Высшая школа»,1980 г.

35. А.И. Прилепко « Сборник конкурсних задач по математике». – Москва.: «Наука». 1983 г.

36. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, Е.М. Рабинович, М.С. Якір «Збірник задач і завдань для тематичного опитування 10клас. Алгебра.» - Харків.: «Гімназія», 2003.

37. Гайштут О.Г. Розв’язування алгебраїчних задач. – Київ: Рад.ш..,1991.