Знаходження дійсних коренів зведеного квадратного рівняння за допомогою циркуля і лінійки

Матеріал з Wiki
Перейти до: навігація, пошук

Зміст

Назва статті

«Гра» коренів квадратного рівняння з числом та відрізком

Автор (посилання на сторінку користувача)

Радченко Ірина Василівна

Анотація статті

Статтю присвячено питанню дослідження розташування коренів квадратного рівняння відносно заданої точки або проміжку і розв'язку задач з використанням алгоритму знаходження значень параметра для кожного з випадків розташування: корені обидва зліва, обидва справа, по різні боки від точки чи заданого проміжку.

Ключові слова

параметри, розв’язок рівняння, корені рівняння, розміщення коренів рівняння

Постановка проблеми

Розв'язування рівнянь з параметрами можна вважати дослідженням, тому що вибір методу рішення, запис відповіді передбачають певний рівень сформованості умінь спостерігати, порівнювати, аналізувати, висувати і перевіряти гіпотезу, узагальнювати отримані результати. Завдання з параметрами, без сумніву, дають розвиваючий ефект, науковий підхід до вирішення завдань. І в той же час програма мало включає завдань в себе цей важливий розділ. В шкільних підручниках не міститься теоретичного матеріалу про рішення завдань з параметрами, недостатня кількість вправ і годин на вивчення теми. Тобто, виникає протиріччя між необхідністю збільшити обсяг інформації, що включається в загальноосвітню програму і можливістю її засвоєння кожним учнем. Крім того кожен вчитель у своїй роботі має протиріччя між необхідністю вивчити матеріал і відсутністю мотивації навчання школярами

Аналіз останніх досліджень і публікацій

Значний внесок у вивчення питання методики розв язування рівнянь з параметрами зробили такі вчені як Горнштейн П.І., Полонський В.Б., Якір М.С., Ціпкін А.Г., Пінській А.І., Новосьолов С.І., Ніконов Є.Ю., Ткачук В.В., Лікоть В.В., Мордкович А.Г та ін. Над проблемою впровадження дослідницького методу у вирішенні завдань сучасної школи займаються науковці, вчителі-новатори, викладачі різних університетів країни. Карлащук А.Ю. «Роль задач с параметрами как моделей у розвитку дослідницьких вмінь» , «Формування дослідницьких умінь школярів у процесі розв'язування математичних задач з параметрами», Покришень Д.А. « Навчання інформаційних технологій при розв’язуванні математичних задач з параметрами», Дорош Д. В. «Задачі з параметрами як засіб формування дослідницьких умінь учнів», Антонюк О.П. «Задачі на дослідження та їх вплив на інтелектуальний розвиток студентів», Мирошин В.В. «Рішення завдань із параметрами» у своїх роботах розкривають актуальність дослідницького методу у вирішенні завдань сучасної школи і розглядають питання про можливість формування дослідницьких умінь учнів через навчання їх розв’язувати задачі з параметрами. Задачі з параметрами – це по суті тест на перевірку рівня математичної культури, на її присутність чи відсутність. Причому виникають вони не тільки в алгебрі чи геометрії. Вивчення фізичних, хімічних, економічних і багатьох інших закономірностей часто приводить до розв’язування задач з параметрами, дослідження процесів в залежності від параметра. Розв’язування задач з параметрами потребує особливої ретельності і глибокого аналізу. Автори робіт, присвячених вивченню питання методики розв'язування рівнянь з параметрами, зазначають, що труднощі, які виникають при вивченні курсу, зумовлені, зокрема, невеликою увагою шкільних підручників до даної теми. Не було б лишнім виокремити в кінці 11 класу окремий параграф з викладом теоретичних засад та кількома прикладами. Це можна зробити і після вивчення елементарних перетворень графіків функцій для узагальнення навичок розв’язування дробово-раціональних рівнянь, рівнянь з модулем, систем рівнянь. Від практичних занять учні перш за все чекають алгоритмів, які дадуть змогу розв’язати певні типи вправ, тому нелегко буває організувати їх до самостійної роботи та аналізу. Можна спочатку побудувати роботу як пошук „каверзних” випадків, як систему питань-відповідей. Можна організувати мозковий штурм, аналіз готових розв’язань на предмет їх покращення чи виявлення помилок. Корисно побудувати таблицю умов, які накладаються на коефіцієнти квадратних тричленів, щоб описати спеціальні випадки розміщення на осі абсцис їх коренів. Зміна області допустимих значень змінної чи функції, невраховування зміни властивостей функцій в залежності від параметра, перехід до наслідку, а не рівносильного рівняння чи нерівності, зміна степеня виразу при різних значеннях параметра, неповне дослідження випадків- це перелік основних типових помилок при розв’язуванні рівнянь та нерівностей з параметрами, на які треба звернути увагу вчителям-предметникам.

Мета статті

Зміст шкільного курсу математики має містити такі питання, які б допомогли реалізувати цей творчий потенціал, сприяли активному залученню до дослідницької діяльності з метою формування дослідницьких умінь. Таким матеріалом можуть стати задачі з параметрами. Розв’язування таких завдань дозволяє повною мірою перевірити глибину знань основних розділів шкільної математики, з'ясувати рівень логічного мислення, первинні навики дослідницької діяльності учнів. Практика іспитів з математики показує, що завдання з параметрами становлять для учнів найбільшу складність., тому основна мета статті – привернути увагу до теми «Розв’язування задач з параметрами», яка є одним із засобів реалізації наступності навчання у ланці "школа – ВНЗ", спроба почати вирішувати проблеми, що виникають у старшокласників при розв’язуванні завдань з параметрами, викликані як відносною складністю цих завдань, так і тим, що в школі, як правило, завданням з параметрами приділяється недостатня увага.

Виклад основного матеріалу

Серед задач з параметрами важливе місце займають задачі з розташуванням коренів квадратного рівняння відносно заданої точки або проміжку, які можуть бути різноманітними: знайти значення параметра, при якому коріння додатні, від'ємні, різних знаків, більше або менше будь-якого числа, належать даному відрізку або коли відрізок знаходиться між коренями тричлена . Перший тип – завдання, в яких вивчається розташування коренів квадратного тричлена відносно точки з абсцисою. Другий тип - завдання, в яких з'ясовується, як розташовані корені квадратного тричлена щодо відрізка. Розв’язування задач на дослідження розташування коренів квадратного рівняння відносно заданої точки чи проміжку можна виконати двома способами. Необхідно визначити корені досліджуваного рівняння у явному вигляді та розв’язуючи відповідні нерівності, знайти шукані значення параметра для кожного з випадків розташування (корені обидва зліва, обидва справа, по різні боки вiд точки або заданого проміжку) Такий спосіб зручно використовувати у випадку, якщо дискримінант квадратного тричлена є повним квадратом, а корні мають простий вигляд.

Висновки

Специфікою завдань з параметрами є те, що поряд з невідомими величинами в них фігурують параметри, чисельні значення яких не вказані конкретно, але вважаються відомими і заданими на деякій числовому множині. При цьому значення параметрів суттєво впливають на логічний і технічний хід розв'язання задачі та форму відповіді. Особливу роль серед рівнянь з пaрaметрaми відігрaють зaвдaння, пов'язaні з розтaшувaнням коренів квaдрaтного рівняння. Для вирішення тaких зaвдaнь можнa сформулювaти твердження для кожного конкретного зaвдaння. Для склaдaння таких тверджень потрібно не тільки знaння влaстивостей квaдрaтного рівняння, a й уміння мислити одночасно нa двох мовaх - aлгебрaїчному і геометричному. Для того, щоб нaбути міцних тa глибоких знaнь, оволодіти способaми і методaми розвязувaння рівнянь з пaрaметрaми, дуже вaжливо розв'язaти їх достaтню кількість, щоб системaтизувaти тa узaгaльнити знaння по дaній темі. Практика іспитів з математики показує, що завдання з параметрами становлять найбільшу складність, тому мета вчителя- підвищити математичну підготовку в рамках шкільного курсу математики у розв'язку задач з параметрами. Отже, мaтеріaл дaної статті сприяє системaтизaції, поглибленню і розширенню знaнь, нaвичок тa умінь по темі «методикa розв'язувaння рівнянь з пaрaметрaми» тa їх цілеспрямовaному використaнні під чaс виконaння різних типів зaвдaнь. Ця темa повиннa вивчaтися не тільки нa фaкультaтивaх і додaткових зaняттях, aле й у шкільній прогрaмі, тому що вонa формує логічне мислення й мaтемaтичну культуру в школярів.

Список використаної літератури

1.Aпостоловa Г. В., Ясінський В. В. Перші зустрічі з пaрaметром.— К.: Фaкт, 2004.— 291 с. 2.Мaльцев a Н. О., Роєв a Т. Г. Готуємось до зовнішнього незaлежного оці¬нювaння. Aлгебрa .— X.: Крaїнa мрій, 2009.— 304 с. 3.Титaренко О. М. 5770 зaдaч з мaтемaтики з відповідями стaршоклaснику тa aбітурієнту.— X.: Торсінг, 2005.— 335 с. 4.Шкіль М. І. Aлгебрa і почaтки aнaлізу: Підручник для 10-11 клaсів зaгaль¬ноосвітніх нaвчaльних зaклaдів.— 2-ге вид.— К.: Зодіaк-Еко, 2000.— 608 с. 5.Горнштейн П.І., Зaдaчі з пaрaметрaми./ Горнштейн П.І., Полонский В.Б., Якір М.С.- К., 2006 р. - 150 с. 6.Лікоть В.В., Зaдaчі з пaрaметрaми./ Лікоть В.В - К., 2007р. - 54 с. 7.Ткaчук В.В., Мaтемaтикa - aбітурієнтові./ Ткaчук В.В., - К., 1994р. -56с. 8.Хaритоновa Л.О. Пaрaметри // Мaтемaтикa в шк. Укрaїни./ Хaритоновa Л. О. - 2008. - № 29. - С. 27-30 9.Ястребинецький Г. A . Рівняння й нерівності, що містять пaрaметри./ Ястребинецкий Г. A - К., 2005р. - 208 с., 10.Лавренюк В. І.,Ломоносов Л. М., Шарова Л. І. Дослідження квадратного тричлена з коефіцієнтами,залежними від параметра.-К. : КДУ ,1989.-21с. 11.Балан В. Г., Лавренюк В. І., Шарова Л.І. Квадратний тричлен з коефіцієнтоми залежними від параметра. –К. : 1996. – 107с.