Розв'язування алгебраїчних рівнянь в школі

Матеріал з Wiki
Перейти до: навігація, пошук

Зміст

Назва статті

Нестандартні прийоми розв'язування алгебраїчних рівнянь

Автор (посилання на сторінку користувача)

Чередниченко Сергій Іванович

Анотація статті

Стаття про нестандартні прийоми розв'язування рівнянь шкільного курсу математики, що зводяться до квадратних та систематизовані відомості про методи розв'язування рівнянь з одним невідомим нестандартними прийомами. Наочно продемонстровано, які помилки зустрічаються найчастіше під час розв'язування раціональних, ірраціональних, логарифмічних, тригонометричних та показникових рівнянь та пояснені причини їх виникнення.

Ключові слова

Квадратне рівняння, розвязок, функція, модуль.

Постановка проблеми

Готуючись до олімпіад з математики, а зараз до зовнішнього незалежного оцінювання я зустрівся зі значним обсягом рівнянь, які потрібно виконати за обмежений проміжок часу. Серед них часто трапляються такі, якими перевіряються у нас, учнів, не стільки технічні навички, скільки уважність, уміння знайти найкоротший шлях розв'язання, застосовувати нетрадиційний, оригінальний метод тощо.

Тому сьогодні дуже важливо оволодіти різноманітними можливостями правильного оформлення алгоритму розв'язування рівнянь, який би не містив громіздких викладень, але за допомогою їх ми б змогли продемонструвати яскраві, ефективні, а інколи і несподівані застосування теоретичного матеріалу.

Такі прийоми я намагався знайти в додатковій літературі , в Інтернеті, а потім , узагальнивши їх, застосував в інших умовах до розв'язування різноманітних рівнянь . Ці прийоми тісно пов'язані з матеріалом , що вивчається в школі, але, крім того, їх нестандартне розв'язання привчає нас, школярів, не задовольнятися шаблонами, алгоритмами, а вдумливо підходити до пошуку оригінальних розв'язань.

Аналіз останніх досліджень і публікацій

Відомо, що вздовж багатьох років алгебру розглядали як науку про рівняння і способи їх розв'язування. Велике значення рівнянь підкреслював А. Ейнштейн. Він сказав: „ Мені доводилось ділити свій час між політикою і рівнянням. Проте рівняння, на мій погляд набагато важливіші, тому що політика існує тільки для даного часу, а рівняння будуть існувати вічно ”.

Необхідність розв'язувати рівняння, як першого степеня, так і другого, ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані із знаходженням площ земельних ділянок та з земельними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати біля 2000 років до н.е. вавілоняни. Застосовуючи сучасні алгебраїчні записи, можна сказати, що і в їх клинописних текстах зустрічаються, окрім неповних , і такі , наприклад, повні квадратні рівняння: , .

Правило розв'язування цих рівнянь викладене у вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасними, хоч невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені до сьогодні клинописні тексти приводять лиш до задач з розв'язками, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок відносно того, яким чином вони були знайдені.

Не дивлячись на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутнє поняття від'ємного числа і загальні методи розв'язування квадратних рівнянь.

Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті „ Аріабхаттіам ” , складеному 499р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттой .

Інший індійський учений, Брахмагупта (VIIст.), виклав загальний розв'язок правила розв'язування квадратних рівнянь, зведених до єдиної канонічної форми :

В алгебраїчному трактаті ал-Хорезмі дається навіть класифікація лінійних і квадратних рівнянь.

Він також подає способи розв'язання вказаних рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр і ал-мухабала. Його розв'язки, звичайно, не співпадають повністю з нашими. І ще потрібно також відмітити, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду ал-Хорезмі, як всі математики до XVIII ст. , не враховували нульового розв'язку, мабуть , тому, що в конкретних практичних задачах воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь ал-Хорезмі на частинних числових прикладах пояснює правила розв'язання, а потім їх геометричне доведення.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного вигляду , при все можливих комбінаціях знаків коефіцієнтів b,с було сформульовано в Європі лише в 1544 р. М.Штифелем.

Вивід формули розв'язування квадратних рівнянь в загальному вигляді є у Вієта, хоч Вієт признавав тільки додатні корені. Італійські математики Тартал'я, Кардана, Бомбеллі серед перших в XVI ст. враховують, крім додатніх , і від'ємні корені. Лише в XVII ст. дякуючи працям Жирара, Декарта, Ньютона і інших учених спосіб розв'язання квадратних та інших рівнянь набуває сучасний вигляд.

Мета статті

Дослідити нестандартні прийоми розв'язування рівнянь шкільного курсу математики, що зводяться до квадратних.

Виклад основного матеріалу

Усе частіше в літературі зустрічаються рівняння, розв'язування яких стандартними способами важке, громіздке або неможливе. Тоді можна спробувати використовувати властивості функцій. Іноді такий підхід приводить до більш простого і раціонального розв'язання .

1. Скінченна область допустимих значень. Область допустимих значень ( ОДЗ )рівняння складається із скінченого числа значень, то для розв'язування досить перевірити всі ці значення. У тому випадку, коли ОДЗ – порожня множина ( не містить жодного числа ), ми можемо зразу дати відповідь, що задане рівняння не має коренів.

Тому перед безпосереднім розв'язанням рівняння, потрібно його проаналізувати, прослідкувати за поведінкою окремих членів рівняння для допустимих значень невідомої змінної.

Наприклад, якщо потрібно розв'язати рівняння , то його ОДЗ задається системою яка не має розв'язків. Тобто, ОДЗ заданого рівняння не містить жодного числа, і тому це рівняння не має коренів.

2. Використання властивості монотонності функцій. Вданому випадку спрацьовує така схема розв'язування: підбираємо один чи кілька коренів рівняння, доводимо, що інших коренів немає, при цьому використовуючи теореми про корені рівнянь , а саме :

Теорема 1. Якщо в рівнянні функція зростає ( спадає) на деякому проміжку, то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.
Теорема 2. Якщо в рівнянні функція зростає на деякому проміжку, а функція спадає на цьому самому проміжку ( або навпаки ), то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

Справді , якщо функція монотонна, то таке рівняння має лише один корінь, бо для монотонної функції нерівним значенням аргументу відповідають нерівні значення функції. Графічно це означає, що пряма лінія, паралельна осі абсцис( графік функції - константи), не може перетинати графік монотонної функції більше, ніж в одній точці.

Якщо - кусково – монотонна функція, то рівняння може мати не тільки більш як один корінь, але навіть нескінченне їх число, коли має нескінченне число проміжків монотонності. Проте їх не може бути більше, ніж число проміжків монотонності кусково – монотонної функції.

3. Використання обмеженості функції. Оцінка лівої і правої частин рівнянь. Деякі рівняння можна розв'язати за допомогою оцінки лівої та правої частин рівняння. Даний прийом базується на такій властивості: нехай потрібно розв'язати рівняння виду f(x) = φ(x) і з'ясувалося, що то рівність між лівою і правою частинами можлива тоді і тільки тоді, коли одночасно дорівнюють а.

4. Використання властивостей взаємнообернених функцій. Розглянемо такі властивості взаємнообернених функцій :

Властивість 1.Якщо та взаємнообернені функції, то їх графіки симетричні відносно прямої y = х.
Властивість 2. Якщо графіки взаємнообернених функцій та перетинаються, то точки їх перетину лежать на прямій y = х.
Властивість 3. Якщо f(x)та g(x) взаємно обернені функції, то рівняння f(g(x))=х рівносильне рівнянню рівнянню g(x) = x.

5. Допомагає геометрія.Іноді доданки, що входять до складу рівняння, нагадують формули, якими записуються такі теореми, як теорема Піфагора, теорема косинусів тощо. Також часто використовується така важлива властивість скалярного добутку векторів: , ( , якщо || ).

6. Допомагає тригонометрія.Під час розв'язування ірраціональних рівнянь іноді зустрічаються вирази, що нагадують тригонометричні тотожності. У таких випадках ефективно працює тригонометрична підстановка.

Серед нестандартних методів можна назвати:

-Графічне розв'язання рівняння четвертого степення
-Розвязування деяких тригонометричних рівнянь з допомогою одиничного кола.
-Застосування похідних до розв'язування рівнянь.
- Рівняння з нескінченним числом квадратних радикалів.
- Рівняння, що містять змінну під знаком модуля

Як свідчить практика, труднощі, з якими зустрічаються учні та абітурієнти під час розв'язування рівнянь, виникають в першу чергу із-за невміння інтенсивно, зосереджено працювати. Не маючи достатнього досвіду в розв'язуванні рівнянь, вони не вкладаються в відведений час, не встигають проаналізувати всі запропоновані і реалізовані методи розв'язування.

Відомо, що багато рівнянь допускають декілька різних прийомів розв'язання. Можна дати будь-яке правильне розв'язання. Хоч бажання знайти найбільш короткий і красивий шлях розв'язання вельми природне, відшукання такого шляху в умовах уроку чи під час зовнішнього оцінювання не можливо, тому що це може зайняти багато часу. Тому краще до кінця довести нехай довге, але надійне розв'язування. Крім того поспішність часто приводить до досадних арифметичних помилок, плутаниці знаків, описок і т.п. , що приводить до помилкової відповіді, хоч нерідко хід розв'язання був правильним. Хоча, якщо ви знаєте як розв'язати рівняння коротшим шляхом,і впевнені в його правильності, то чому б не зекономити час.

Відсутність чіткого уявлення про рівносильність рівнянь часто приводить до загублених коренів в процесі розв'язання рівнянь, або до одержання сторонніх коренів. Часто ліва і права частина рівняння множиться на спільний множник, що містить змінну, але якщо не врахувавши при цьому , що коли цей множник в області допустимих значень (ОДЗ) змінної перетворюється в нуль , то таке множення приводить до загублених коренів. Особливо часто ця помилка зустрічається під час розв'язування тригонометричних рівнянь.

Головна мета при розв'язуванні ірраціональних рівнянь які зводяться до квадратних - це позбутися ірраціональності. Вона досягається двома способами : піднесенням обох частин рівняння до відповідного степеня або заміною. Перший спосіб застосовується частіше, хоча останній часто значно спрощує перетворення.

Розв'язуючи такі ірраціональні рівняння, потрібно пам'ятати, що :

а) перевірка одержаних значень для невідомого в загальному випадку являється обов'язковою частиною розв'язку, так як при піднесенні в парну степінь обох частин рівняння можуть з'явитися сторонні корені;

б) в багатьох випадках сторонні корені можуть належати ОДЗ невідомого в початковому рівнянні, тому є помилкою винесення в відповідь усіх розв'язків рівняння, що належать ОДЗ, без їх перевірки. Взагалі кажучи, перевірку здобутих розв'язків потрібно робити при розв'язанні будь-яких рівнянь, якщо це пов'язано з виконанням складних перетворень.

Під час розв'язання показникових рівнянь допускаються помилки , які свідчать про недостатні знання правил дій над степенями , властивості показникової функції.

Значне число помилок при розв'язуванні логарифмічних пояснюється нетвердими знаннями властивостей логарифмічної функції, правил логарифмування і потенціювання. Потрібно враховувати, що логарифмування, ділення, множення рівнянь на вирази, що містять невідомо величину, може привести до звуження ОДЗ і , а це означає до загублених коренів. Виключити сторонні корені можна перевіркою, знайти загублені корені складніше.

В багатьох немає чіткого уявлення про те, в яких випадках потрібно перевірка при розв'язуванні рівнянь, а в яких ні. Потрібно пам'ятати, що призначення перевірки - відкинути сторонні корені, які частіше всього проявляються при:

1)скороченні дробів на множники, що містять змінну. Наприклад, скоротивши на (х+2) дробову частину рівняння і розв'язуючи його, одержимо х=-2 – це сторонній корінь;
2)взаємне спрощення подібних членів, що містить змінну в знаменнику дробу, під знаком радикалу, чи під знаком логарифма;

3) піднесення обох частин рівняння в парну степінь;

4) потенціювання обох частин рівняння, наприклад, lgх+lg(x+21)=2, звідси х(х+21)=100 і тоді =4 , =-25.В даному випадку -25 –сторонній корінь.

Сторонні корені з'являються при розширенні ОДЗ невідомого, що входить в рівняння. Виявити їх можна перевіркою . Таким чином, процес розв'язання будь-якого рівняння потребує уважного аналізу. Під час переходу до кожного наступного запису рівняння потрібно вияснити, чи рівносильне це нове рівняння попередньому. Якщо ні, то до чого приведе перетворення ― до появи сторонніх коренів (в цьому випадку в кінці роботи необхідна перевірка всіх визначених значень х) чи до загубленого кореня ( тоді зразу ж проаналізувати, які корені губляться і включити їх в кінцеву відповідь).

Висновки

В процесі розв'язування рівнянь ми помітили , що всі вони зводяться кінець кінцем до розв'язання переважно вже за відомими алгоритмами. Опанування цих алгоритмів є важливим завдання для кожного учня. Філософи навіть стверджують, що нема кращого способу створити умови для творчої діяльності як бездоганне знання цих алгоритмів. Справді, розв'язання нестандартних рівнянь зводиться , зрештою, до розв'язання відомих опорних рівнянь , які мають формули розв'язання.

Але ще в 20 роках минулого століття Н. Х. Абель довів, що формули для рівнянь n – ого степеня при n > 5 напевно не можуть бути знайдені. Хоч він не виключав можливості того, що корені деяких конкретних многочленів з числовими коефіцієнтами все таки можна визначити через коефіцієнти. Що пізніше і трапилося. Тому не традиційні прийоми розв'язування рівняння можливо і приведуть до знаходження нового алгоритму для розв'язування, наприклад, трансцендентно – алгебраїчних рівнянь.

Ми переконалися, що математика, як і будь-яка інша наука не розвивається сама, всі відкриття в ній роблять люди. Так свій внесок у розвиток вчення про рівняння зробили Евклід, Діофант, аль-Хорезмі, О.Хайям, Ф.Вієт та інші вчені. Ці люди не обмежувалися лише математикою, вони були високо освіченими і всебічно розвиненими, до чого повинна прагнути кожна людина.

Список використаної літератури

Список використаних джерел.


1. Титаренко О.М. Форсований курс шкільної математики. – Харків

„ Торсінг ” – 2003.- 367с.

2. Скороход А. В. Вибрані питання елементарної математики. – Київ „ Вища школа ” – 1982 – 445 с.

3. Ципкін О. Г. Довідник з математики для середніх навчальних закладів . –

Київ „ Вища школа ” – 1988 – 415 с.

4. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. - Київ „ Вища школа ” – 2006 – 381с.

5.Нелін Є. П. Алгебра і початки аналізу. – Харків „ Світ дитинства ” – 2006. – 448 с.

5. Егерев В. К. , Зайцев В.В. Сборник задач по математике для поступающих во втузы . – Минск « Высшая школа» - 1990.