Формування пізнавальної активності учнів при розв'язуванні рівнянь з параметрами

Матеріал з Wiki
Перейти до: навігація, пошук

Зміст

Формування пізнавальної активності учнів при розв'язуванні рівнянь з параметрами

Автор (посилання на сторінку користувача)

Руденко Олена Петрівна

Анотація статті

На основі аналізу роботи вчителів виокремлено деякі проблеми, які виникають при формуванні

пізнавальної активності учнів на уроках математики, навчанні учнів розв’язувати завдання з параметрами, та запропоновано деякі шляхи їх вирішення.

Ключові слова

Пізнавальна активність, навчання математики, завдання з параметрами.

Постановка проблеми

У сучасних умовах, коли обсяг необхідної для людини інформації швидко зростає, вже

неможливо робити акцент тільки на засвоєння певної суми знань, зокрема, у ході навчання математики. Важливо прищеплювати учням на уроках математики вміння самостійно поповнювати знання, орієнтуватись у потоці нової наукової інформації. Тому проблема підвищення пізнавальної активності у процесі навчання математики є актуальною.

Пізнавальна активність є соціально значимою якістю особистості і формується у

школярів у навчальній діяльності. А ефективність навчання залежить від активності учнів в ході виконання навчально-пізнавальної діяльності.

Аналіз останніх досліджень і публікацій

У діючих підручниках з алгебри дуже мало рівнянь, що містять параметри, тому вчителю необхідно знаходити в додатковій літературі

завдання з даної теми. Навіть підбираючи завдання з навчальних посібників (зокрема, Ларичев П.А. Сборник задач по алгебре, ч.1. – М.: Учпедгиз, 1957), можемо побачити, що розв’язання, наприклад, рівняння обмежується знаходженням . Але цього недостатньо.

Матеріал, що пропонується, може бути використаний під час вивчення лінійних рівнянь з однією змінною у 7 класі, повторенні у 8 класі,

а також на факультативних заняттях.

В учнів, які систематично розв‘язують задачі з параметрами, підвищується рівень розумових та пізнавальних здібностей, здатність до

аналізу, синтезу, узагальнення й конкретизації, вміння логічно мислити, збагачується математична культура, а також формуються навички дослідницької діяльності.

Всеукраїнські учнівські олімпіади з базових дисциплін проводяться щороку серед учнів середніх і професійно - технічних закладів

освіти. Олімпіади завжди збирали найкращих учнів, які справді не уявляють свого подальшого життя без математики.

Ознайомлюючись з Наказами Міністерства освіти і науки України ми бачимо зацікавленість в інтелектуальних досягнень дітей і підтримку обдарованих учнів. У пояснювальній записці програм з математики для загальноосвітніх закладів говориться: «Провідна роль належить математиці у формуванні алгоритмічного мислення, вихованні умінь діяти за алгоритмом і конструювати нові».
Конструюванню нового завжди передує дослідження. Великий потенціал у розвитку дослідницьких умінь, як от вміння спостерігати,

аналізувати, висувати й доводити гіпотезу, узагальнювати та інше, безумовно, мають завдання з параметрами (зокрема рівняння і нерівності з параметрами). Дані завдання відіграють істотне значення у формуванні логічного мислення та математичної культури школярів.

Задачі з параметрами традиційно входять до завдань зовнішнього незалежного оцінювання та державної підсумкової атестації і мають за

мету перевірку логічного мислення учнів.

Мета статті

У ході практичної діяльності розглянути методику формування та розвитку пізнавальної активності учнів основної та старшої школи в

процесі навчання математики. Зокрема при навчанні учнів розв’язувати завдання з параметрами як у старшій, так і у основній школі.

Виклад основного матеріалу

Задачам з параметрами у шкільному курсі математики тривалий час приділялася недостатня

увага. Проте, формулювання завдання, що містить параметр не виходить за межі шкільної програми і для її розв’язання не потрібні якісь спеціальні знання. Основне при розв’язуванні таких задач – це ідея. А для цього необхідно вміти логічно міркувати, добре знати теоретичний матеріал, вміти поєднувати «в єдине ціле» знання з кількох розділів математики.

Задачі з параметрами є природним завершенням будь-якого математичного розділу, в якому

для вироблення і закріплення відповідних навичок розв’язуються задачі. Цілком природно, що починають із задач з числовими даними, і лише потім у відповідному розділі з’являються задачі з параметрами.

Класифікацію методів розв’язування задач з параметрами можна провести за методами розв’язування рівнянь і нерівностей, що вивчають

у курсі алгебри.

Перше ознайомлення із задачами з параметрами бажано розпочати з найпростіших прикладів, зокрема вже під час вивчення теми «Лінійні

рівняння» (алгебра, 7 клас). На жаль, такого матеріалу в шкільних підручниках та посібниках з математики практично немає. Найчастіше такі завдання «з’являються» лише тоді, коли вивчаються квадратні рівняння.

Складність задачі з параметром полягає в тому, що параметр, будучи фіксованим, але невідомим числом має подвійну природу. З одного

боку, фіксованість дає можливість оперувати параметром, як числом, а з другого боку – параметр – довільне, тобто, невідоме число, що вимагає проведення відповідних досліджень.

Універсальних методів розв’язування задач з параметрами не існує. Часто користуються аналітичними та графічними методами.
Розв’язуючи задачі з параметрами слід пам’ятати:
- розв’язок задачі знаходиться традиційними методами, тобто для того щоб розв’язувати завдання з параметрами, треба спочатку

з’ясувати тип рівняння або нерівності та загальний спосіб його розв’язування;

- наявність параметрів у задачі передбачає обов’язкове дослідження існування розв’язку залежно від значень параметрів, а також

знаходження всіх розв’язків;

- форма запису відповіді в задачах з параметрами має спеціальний вигляд: значення невідомих вказується для кожного допустимого

значення параметра.

Матеріал, що пропонується, може бути використаний під час вивчення лінійних рівнянь з однією змінною у 7 класі, повторенні у 8

класі, а також на факультативних заняттях.

У роботі надана достатня кількість рівнянь, які вчитель може використати як тренувальні вправи, а також для написання самостійних і

контрольних робіт.

В учнів, які систематично розв‘язують задачі з параметрами, підвищується рівень розумових та пізнавальних здібностей, здатність до

аналізу, синтезу, узагальнення й конкретизації, вміння логічно мислити, збагачується математична культура, а також формуються навички дослідницької діяльності.

Перед введенням терміна «параметр», учням необхідно нагадати про роль букв в алгебрі, звернути увагу на те, що за буквою приховано

число.

Пропедевтичним будуть завдання, в яких потрібно виразити одну змінну через іншу. Вміння виражати одну змінну через іншу знадобиться

учням і під час розв‘язування задач з фізики, де вимагається спочатку скласти буквений вираз і тільки потім підставити числові значення букв.

З учнями треба повторити, що таке рівняння, що означає розв‘язати рівняння. Під час усного розв‘язування лінійних рівнянь

робимо висновок про можливу кількість розв‘язків рівнянь.

Учням можна запропонувати для розв‘язування завдання. Доведіть, що наступні рівності правильні при будь-якому значенні змінної:
4(х+1)=4х+4;
3х-4=4(х-1)-х;
2(х+7)-19=2х - 5;
Висновок: кожне з даних рівнянь має безліч коренів.
Доведіть, що наступні рівняння не мають коренів:
2х=2(х+ 3);
х+1=х;
5(х + 1)=5х;
Показуємо, що рівняння, крім невідомого х, може містити й інши букви, і зауважуємо, що букви можуть набувати різних числових значень.
Також зауважуємо, що зазвичай у рівняннях буквами позначають невідомі. Іноді рівняння, крім букв, які позначають

невідомі, мають інші букви, які називаються параметрами.

Змінну, яку треба знайти, будемо називати невідомою, а змінну, через яку виражаємо невідому, назвемо параметром.
Розв‘язати рівняння з параметром означає, що для кожного значення параметра треба встановити, чи має рівняння

розв‘язки, і якщо має, то знайти ці розв‘язки, що, як правило, залежить від параметра.

Розглянемо в загальному вигляді лінійне рівняння . У цьому рівнянні букви і позначають конкретні числа (тобто і є

постійні, у відмінності від невідомого , яке є змінною). Фактично ми маємо справу не з одним рівнянням, а з множиною лінійних рівнянь, які утворюються при підстановці замість і конкретних числових значень.

Може статися, що при одних значеннях параметрів і рівняння має рішення, а при інших – ні; при одних значеннях

параметрів рівняння записується одною формулою, а при інших – якоюсь іншою.

Тому при розв‘язуванні рівнянь з параметрами зазвичай розбивають область допустимих значень параметрів на такі

інтервали, в кожній з яких розв’язок виражається однією й тією ж формулою через параметри. Такі значення параметра, при яких відбуваються якісні зміни рівняння, називають контрольними.

Завдання. Розв’язати рівняння ах=b.
Для розв’язування цього рівняння нам хочеться поділити обидві частини на a. Але ділити можна на будь-яке число, крім

нуля. Тому нам доведеться окремо розглядати розв‘язування цього рівняння при a≠0 (тоді ділити на a можна і отримаємо x=b:a) і при a=0.

При a=0 отримаємо рівняння 0x=b, розв‘язок якого залежить від того, яким числом буде параметр b: якщо b=0, то отримаємо

рівняння , розв‘язком якого буде будь-яке дійсне число, а при b≠0 рівняння коренів не має (при будь-якому b в лівій частині отримаємо 0, а в правій – число, відмінне від нуля).

Суттєвим етапом розв’язування задач з параметром є запис відповіді.
Відповідь – це систематизація та узагальнення раніше одержаних результатів. І дуже важливо відобразити у відповіді всі етапи розв‘язку.
Відповідь. Якщо a≠0, x=b:a ; якщо a=0 і b=0, x - будь-яке число; якщо a=0 і b≠0, розв’язків немає.
Описані вище міркування можна наочно відобразити у вигляді наступної схеми.
Лінійні рівняння з параметрами.
Наведені приклади лінійних рівнянь з параметрами і вправи для індивідуальної та групової

роботи розподілені за рівнем складності.

Висновки

Задачі з параметрами традиційно входять до завдань зовнішнього незалежного оцінювання та державної підсумкової

атестації і мають за мету перевірку логічного мислення учнів.

Часто учень, ще не розібравшись в умові задачі, впадає у відчай. Можливо у цей час його міркування такі: у школі ми таку

задачу не розв’язували, вона мені не знайома, задачі з параметрами дуже важкі, тому я її не розв’яжу. Дійсно, саме такі задачі у звичайній школі (рівень стандарт, академічний рівень) не розглядаються. Навіть у класах профільного та поглибленого рівнів на розв’язування задач з параметрами відводиться дуже мало годин. Наприклад, розв’язування тригонометричних рівнянь з параметрами – 1 година, розв’язування тригонометричних нерівностей з параметрами – 1 година. На жаль, дати відповідь, у який час і як на уроці можна засвоїти дані теми я не можу. Дуже добре, якщо є факультативи та курси за вибором.

Було б помилкою вважати, що розв’язування задачі з параметром необхідно тільки для успішного проходження

зовнішнього незалежного оцінювання та державної підсумкової атестації. Адже в процесі їх розв’язування збагачується математична культура учня, розвивається мислення, виробляються початкові навички дослідницької діяльності. :Розв’язування рівнянь та нерівностей з параметрами відкриває перед учнями значну кількість евристичних прийомів загального характеру, цінних для математичного розвитку особистості, які використовуються в дослідженнях і на будь-якому іншому математичному матеріалі. Це стосується і ідеї симетрії аналітичних виразів, і використання властивостей функцій в «незвичайних» для учнів ситуаціях, і засвоєння геометричних прийомів розв’язування задач і т.п.

Список використаної літератури

  1. Єршова П. А. Самостійні і контрольні роботи з алгебри та геометрії для 7 класу / П. А. Єршова. – Х.: Гімназія, 2003. – 96 с.
  2. Інформаційний збірник Міністерства освіти і науки України. – К.: Педагогічна преса, 2010. – № 25-26-27. – 96 с.
  3. Карлащук А. Ю. Формування дослідницьких умінь школярів у процесі розв’язування математичних задач з параметрами [Текст]: автореферат / А. Ю. Карлащук. – К.: [б. в.]., 1998. – 18 с.
  4. Коваленко В. Г. Алгебра: експерим. навч. посібник для 8 кл. шк. з поглибл. вивченням математики і спеціаліз. шк.. фізико-мат. профілю / В. Г. Коваленко, В. Я. Кривошеєв, Л. Я. Лемберський. – К.: Освіта, 1995. – 303 с.
  5. Коваленко В. Г. Дидактичні ігри на уроках математики. Книга для учителя / В. Г. Коваленко. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с.
  6. Ларичев П. А. Сборник задач по алгебре / П. А. Ларичев. – Ч.1. – М.: Учпедгиз, 1957. – 240с.
  7. Мерзляк А. Г. Геометрія: підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. – Х.: Гімназія, 2007. – 238 с.: іл
  8. Мерзляк А. Г. Алгебра: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивч. математики / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. – Х.: Гімназія, 2008. – 368 с.: іл.
  9. Руденко О. Лінійні рівняння з параметрами. Алгебра, 7 – 8 класи / Олена Руденко [Текст] / Математика. – 2010. – № 38 (578). – С. 8 – 11.